布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座.ppt

第一节 数学基础知识
一、标准布朗运动（或维纳过程）
设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化。如果 具有如下两个基本性质，则 是一个标准布朗运动（维纳过程）：
性质1： 与 的关系为:
2020/12/27
1
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
其中， ，即标准正态分布中取的一个随机值。
性质2：对于任何两个不同时间间隔 ，
的值都相互独立。
二、对维纳过程的分析
从性质1可看出： 服从正态分布，即：
2020/12/27
2
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
方差则为
故:
2020/12/27
3
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
从性质2可看出，Z遵循马尔科夫过程。
将时间T分成N等份，则：
2020/12/27
4
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
三、普通布朗运动
引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量 x 的普通布朗运动
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
2020/12/27
5
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
四、伊藤过程 （Ito Process）
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
2020/12/27
6
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程
则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
证明如下：
2020/12/27
7
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
2020/12/27
8
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
所以
2020/12/27
9
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座
再看 ，很显然，由于 是一个遵循标准正态分布的随机变量，故 也是一个随机变量。
2020/12/27
10
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训专业知识讲座