逆解法框图
由边界条件选择某应力的函数式
YES
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
NO
积分求函数Φ
§3-4 简支梁受均布荷载
解:用半逆解法
q
0
x
y
L
L
矩形截面简支梁,体力不计,求应力分量
由材力知:
(1)根据上、下边界处的法向分布面力,假设为某种函数;并求应力函数Φ;
由上、下边界的面力:
由于q沿x轴不变化,与x无关,故可假设
也与x无关
则
其中:
为待定函数
(a)
(2-24)容
代入(2-24)容
(2)Φ必须满足相容方程,据此求待定函数
(2-24)容
代入(2-24)容
上述方程为x的二次多项式,要求全梁范围内无论x取何值均成立,只有:
二次项系数
一次项系数
零次项
(1)
(2)
(3)
由(1)、(2)式:
由(3)式:
故:
(b)
(3)根据(2—23)求出应力分量{;
(c)
(d)
(e)
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程,只要选择适当的系数A、B…K常数,使所有边界条件满足,则(c) 、(d)、(e)为正确解答。
(3)根据(2—23)求出应力分量{;
(c)
(d)
(e)
[求待定系数前的观察与简化]——对称分析
该问题:关于y轴结构对称、荷载对称
x
-x
x
y
o
在对称位置
上的单元体
必具有:
对称的变形
状态
对称的应力
状态
A'
A
由上图可见:
由应力分量的正、负号规定可知,对称的应力状态,正应力具有相同的符号,剪应力具有相反的符号。
故x、y应是x的偶函数(对称)xy应是x的奇函数(反称)
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