周道祥弹性力学 第七章.ppt

y
x
z
第七章空间问题的基本理论
§7-1平衡微分方程
应力分量:
{}={x;y;z;xy;xz;yz}
体力分量:
{X}={X;Y;Z}
在物体内的任意一点P,取PA=dx,PB=dy,PC=dz,割
取一平行六面体,研究应力逐点变化的规律。
t
xy
t
xz
t
yx
t
zx
t
yz
t
zy
s
x
s
y
s
z
x
y
z
0
Z
X
Y
根椐平衡条件:
可得类似表达式,整理并两边除以
,注意到剪应力互等关系,得:
(7-1)
由对三根轴的合力矩分别为零,可证明剪应力互等。
(7-1)为空间问题的平衡方程。
独力未知函数为6个,平衡方程数目为3个,问题是超
静定的。须考虑几何、物理方面关系。
§7-2几何及物理方程
平面问题中,通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴
的线元dx和dy的变形得到几何方程,若用同样的方法分
析oyz、ozx两平面内相应线元的变形,可得类似的方程。
在小变形情况下,在推导过程中,忽略第一次变形在以后
变形过程中的影响。可得下式:
(7-8)
如用矩阵表示:
一、几何方程
应变列阵:
几何方程:
(7-8)
二、变形相容方程(协调方程)
空间中,不同平面间应变分量的关系。即变形连续
性条件。
其中左边三个形式上是类似的,第一个为平面问题的
连续性方程。(推导见§2-8)
右边三式可按第一式由xy  z  x轮换字母获得。
三、物理方程:
(广义虎克定律)
(7-12)
若:
则:物理方程用矩阵表示:
(7-12A)
式中:
用应变表示应力:
方程用矩阵表示:
式中[D]为弹性矩阵表示为:
注意:
[D]=[C]-1
四、体积应变:
由(7-12A):
令:σx+ σy +σz=Θ
体积应力
体积应变
(7-13)