公开课正弦定理.ppt

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新授课)
爆散师:王嫂
复习与引入
问题:回忆一下直角三角形的边角关系?
b
sIn
A
sin B
C
sin
a
b
sin a
B
sin o
b
sin a sinb sin c
这就是我们今天要学习的正弦定理。
猜想:这个结论是否对于任意三角形都适用???
CD速帕系贼米权街角
1、在锐角三角形中证明正弦定理
证明:∵在 Rt ADBFRLAADC中
AD
sin B
SiC、AD
即:AD=c·sinB=即:AD= b sin C
csinb=bsin c
b d a
C
b
sinb sin c
b
同理可得
sin a sin B
sin a sinb sin c
CD速帕系贼米权街角
2、在钝角三角形中证明正弦定理
证明:∵在 RtADB和 Rtadc中
AD
sin B
即:AD=c·sinB
CAD
Sm(丌
即:AD=b·sinC
b
B∴ c sin B= bsin c即
D C
b
sinb sin c
同理可得:
sin a
b
SIn
B
sin a sinb sin c
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦
的对应比相等
△A2
aAD s
ac sin B
2ab sin C
bc sin a
△ABC
面积公式:任何一个三角形的面积都等于任意两边
及其夹角正弦乘积的一半。C连角系权街前心
剖析定理、加深理解
从表达式的结构看,正弦定理所表达的边与对角
正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
弦定
b
C|→ bsin c= c sin B
理 nA B_SmC心b3B
c sin c
正弦定理可以解什么类型的三角形问题?
1、已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形
的其他的边和角。
2、已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角。
定理的应用
例1)在△ABC中,已知C=10,A=45°,C=30°
,a.
解:B=180°(A+C)=105
sin a sin c
C·Smn
10×sin45°
SIn
C
sin 30
又
sinb sin c
c·siB10×si105
b
4
5(6+√2
sin C
sin 30
例2
在△ABC中
309,AB=2√3,AC=2,则BC
△ABC的面积
AB AC
解:根据正弦定理,有
sin c sin B
所以sinC
AB. sin B
C=60或120
AC
1)当C为锐角时,C=60°,则A=90°
根据勾股定理,有BC2=AC2+AB2
BC=4
B
C
AB·AC·sinA
2
2)当C为钝角时,C=120°,则A=30
·BC=AC=2
S= AB. AC. sin A=×23×2=√3
CD阳系航米权街前
课堂练笔:
(1)在△ABC中,一定成立的等式是(C)
a. asin a=bsin B
b. acos a=bcos B
c. asin b=bsin a
d. acos b=b cos a
(2)在△ABC中,N3n= bsin A,则B=60或120
(3)在△ABC中,若A、B、C的对边分别为a、b、C,且
A:B:C=1:2:3,则a:b:c=1:√3:2
(4)在△ABC中,已知c=√3,A=75,B=60,求b及S△。
解:∵C=180-(A+B)=180°-(75°+60°)=45°
又∵ sin B sin C… bs csin B√3、im60°32
b
sin c
sin 45
13√2√6+√23+√3
4
8
课堂练笔:
(2)在△ABC中,3a= b sin a,则B
解:由正弦定理:
得: a sin B= bsin a
sin a sin B
及a= bsin a得
B
B=60°或120°
(3)在△ABC中,若A、B、C的对边分别为a、b、c,且
A:B:C=1:2:3,则a
解::A+B+C=z
又∵A:B:C=1:2:3∴A
B
6
由正弦定理
得
sin a sin b sin c
A: sin B: sin C
2
CD连系喊米权街太
总结提炼
1)三角形常用公式:A+B+C=丌
△ABC
ab sin c=-bc a./
C
正弦定理
sin a sinb sin c
(2)正弦定理应用范围
①已知两角和任意边,求其他两边和一角
②已知两边和其中一