切线长定理.pptx

义务教育教科书（沪科）九年级数学下册

第4课时 切线长定理
岑溪市第二中学 廖淑娟
小红想利用所学的圆的知识测量一下教室里圆柱形水桶的直径,而现在只有一把20cm的直尺,不够长,怎么办呢?小红想了一下,采用了下面的办法:如图所示,首先把水桶放到互相垂直的两面墙的墙根,使水桶边缘恰好靠到两墙面,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出水桶的直径,你知道她这样做的道理吗?
、一、问题导入
P
▪
二、合作探究
1、从圆外一点作圆的切线,可以作几条?
探究一：切线长定义
:
从圆外一点可以作这个圆的两条切线,这一点和切点间的线段长叫做切线长.
3、切线长的特征：
① 在圆的切线上；
②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。
A
B
O
P
A
B
1
2
(1)切线长定理:
从圆外一点作圆的两条切线,.
C
D
如何证明？
探究二：切线长定理
1、探索问题：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？
2、切线长定理及证明
O
P
A
B
1
2
C
D
(2)切线长定理的证明
已知：如图 ，点P是⊙O的一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B.
求证： PA=PB, ∠1=∠2
证明 ：
∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又∵OA=OB，OP=OP
∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP
∴ PA=PB, ∠1=∠2
A
P
O
。
B
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B.
∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
（3）用符号语言表示定理
A
P
O
。
B
M
思考1： 若连结两切点A、B，?并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
知识拓展
A
P
O
。
B
思考2： 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB
∴AC=BC
C
CA=CB
知识拓展
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP， △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
知识归纳
例题：已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H。
求证：AB+CD=AD+BC
（一）例题讲解：
·
A
B
C
D
O
三、巩固应用