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函数单调性判定方法

定义法
通常地, 设为定义在上函数。 若对任何、 , 当初, 总有
(1), 则称为上增函数, 尤其当成立严格不等时, 称为上严格增函数;
(2),则称为上减函数, 尤其当成立严格不等式
时, 称为上严格减函数。
利用定义来证实函数在给定区间上单调性通常步骤:
（1）设元, 任取,且;
（2）作差;
（3）变形（普遍是因式分解和配方）;
（4）断号（即判定差和0大小）;
（5）定论（即指出函数 在给定区间D上单调性）。
。
证实: 设,, 且, 则
因为,
则, 即, 所以在上是减函数。
在上单调性。
证实: 设、 , 且, 则
,
又 所以, ,
当、 时, 此时函数为减函数;
当、 时, 此时函数为增函数。
综上函数 在区间内为减函数; 在区间内为增函数。
此题函数是一个特殊函数（对号函数）, 用定义法证实时通常需要进行因式分解, 因为和0大小关系不是明确, 所以要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适适用于那种对于定义域内任意两个数当初, 轻易得出和大小关系函数。 在处理问题时, 定义法是最直接方法, 也是我们首先考虑方法, 虽说这种方法思绪比较清楚, 但通常过程比较繁琐。
函数性质法
函数性质法是用单调函数性质来判定函数单调性方法。 函数性质法通常和我们常见简单函数单调性结合起来使用。 对于部分常见简单函数单调性以下表:
函数
函数表示式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当初, 在R上是增函数;
当初, 在R上是减函数。
二次函数
当初, 时单调减,
时单调增;
当初, 时单调增, 时单调减。
反百分比函数
且
当初,在时单调减, 在时单调减;
当初,在时单调增, 在时单调增。
指数函数
当初, 在R上是增函数;
当, 时在R上是减函数。
对数函数

当初, 在上是增函数;
当初, 在上是减函数。
部分常见相关函数单调性质可总结以下多个结论:
⑴．和+单调性相同。 （为常数）
⑵．当初, 和含有相同单调性; 当初, 和含有相反单调性。
⑶．当恒不等于零时, 和含有相反单调性。
⑷．当、 在上全部是增（减）函数时, 则＋在上是增（减）函数。
⑸．当、 在上全部是增（减）函数且二者全部恒大于0时, 在上是增（减）函数; 当、 在上全部是增（减）函数且二者全部恒小于0时, 在上是减（增）函数。
⑹．设,为严格增（减）函数, 则必有反函数, 且在其定义域上也是严格增（减）函数。
。
解:函数定义域为, 由简单函数单调性知在此定义域内 均为增函数, 因为,由性质⑸可得也是增函数; 由单调函数性质⑷知为增函数, 再由性质⑴知函数+5在为单调递增函数。
, 判定在其定义域上单调性。
解:函数定义域为.
先判定在内单调性, 由题可把转化为, 又故由性质⑶可得为减函数; 由性质⑵可得为减函数; 再由性质⑴可