高中常见题型解决方法归纳专题06函数单调性的判断、证明和单调区间的求法模板.doc

第06讲: 函数单调性判定、 证实和单调区间求法
【考纲要求】
了解函数单调性、 最大值、 最小值及其几何意义。
【基础知识】
区间含有严格单调性, 区间叫做单调区间。 不然全部叫函数不含有严格单调性。
3、 判定证实函数单调性通常方法: 单调四法, 导数定义复合图像
（1）定义法
用定义法证实函数单调性通常步骤是①取值, 设, 且; ②作差, 求; ③变形（合并同类项、 通分、 分解因式、 配方等）; ④判定正负符号; ⑤依据函数单调性定义下结论。
（2）复合函数分析法
设, , 全部是单调函数, 则在上也是单调函数, 其单调性由“同增异减”来确定, 即“里外”函数增减性相同, 复合函数为增函数, “里外”函数增减性相反, 复合函数为减函数。 以下表:
设在某个区间内有导数, 若在区间内, 总有
, 则在区间上为增函数（减函数）。
（4）图像法
通常经过已知条件作出函数图像草图, 假如函数图像, 在某个区间, 从左到右, 逐步上升, 则函数在这个区间是增函数; 假如从左到右, 是逐步下降, 则函数是减函数。
4、 求函数单调区间: 单调四法, 导数定义复合图像
（1）定义法
（2）复合函数法
先求函数定义域, 再分解复合函数, 再判定每一个内层函数单调性, 最终依据复合函数单调性确定函数单调性。
（3）导数法
在其对称区间上单调性相减, 如函数。
（2）在公共定义域内, 增函数+增函数是增函数, 减函数+减函数是减函数。 其它如增函数增函数不一定是增函数, 函数和函数全部是增函数, 不过它们乘积函数不是增函数。
（3）求函数单调区间, 必需先求函数定义域, 即遵照“函数问题定义域优先标准”。
（4）单调区间必需用区间来表示, 不能用集合或不等式, 单调区间通常写成开区间, 无须考虑端点问题。
（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接, 只能用逗号隔开。
【方法讲评】
证实函数在区间是增函数。
解: 设,


函数在区间是增函数。
例2 求函数单调区间．[起源:学科网]
解: ∵函数定义域为{x|x∈R, 且x≠0}, 设x1、 x2≠0, 且x1<x2,
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
(1)当x1<x2≤－a或a≤x1＜x2时,
x1－x2<0, x1·x2>a2,
∴f(x1)－f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(－∞, －a]上和在[a, ＋∞)上全部是增函数．
(2)当－a≤x1<x2<0或0<x1<x2≤a时, x1－x2<0,
0<x1·x2<a2, ∴f(x1)－f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在[－a,0)和(0, a]上全部是减函数．
例3 已知函数定义域是一切实数, 对定义域内任意, 全部有, 且当时,
（1）求证是偶函数; （2）在上时增函数; （3）解不等式
解:

【变式演练2】已知是定义在区间上奇函数, 且, 若时, 有。 （1）解不等式（2）若对全部恒成立, 求实数取值范围。
例4 已知函数
（I）讨论函数单调性;
（II）, , 求取值范围。
解: （Ⅰ）定义域为（0, +∞）. .
当初, ＞0, 故在（0, +∞）单调增加;
当初, ＜0, 故在（0, +∞）单调降低;
当-1＜＜0时, 令=0, 解得.
则当初, ＞0; 时, ＜0.
故在单调增加, 在单调降低.
（Ⅱ）不妨假设, 而＜-1, 由（Ⅰ）知在（0, +∞）单调降低, 从而
,
等价于 , ①
令, 则
①等价于在（0, +∞）单调降低, 即
.
从而
故a取值范围为（-∞, -2].
(Ⅰ)当时, 讨论单调性;
（Ⅱ）设当时, 若对任意, 存在, 使
, 求实数取值范围.
例5 设函数, , 求函数单调区间和极值。
+
0
-
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
【点评】对于三角函数也能够利用求导方法求函数单调区间。
【变式演练4】 某地有三家工厂, 分别在矩形ABCD 顶点A,B 及CD中点P 处, 已知AB=20km,CB =10km , 为了处理三家工厂污水, 现要在矩形ABCD 区域上（含边界）, 且A,B 和等距离一点O 处建造一个污