伽马函数与多伽马函数.doc

函数和多伽马函数
定义
函数能够经过欧拉（Euler）第二类积分定义:
对复数, 我们要求。
Γ函数还能够经过对做泰勒展开, 解析延拓到整个复平面:
这么定义Γ函数在全平面除了以外地方解析。
Γ函数也能够用无穷乘积方法表示:
这么定义Γ函数在全平面解析
[编辑] 无穷乘积
函数能够用无穷乘积表示:
其中是欧拉-马歇罗尼常数。
[编辑] Gamma积分
[编辑] 递推公式
函数递推公式为: ,
对于正整数, 有
,
能够说函数是阶乘推广。
[编辑] 递推公式推导
我们用分部积分法来计算这个积分:
当初, 。 当趋于无穷大时, 依据洛必达法则, 有:
.
所以第一项变成了零, 所以:
等式右面恰好是。 所以, 递推公式为:
。
[编辑] 关键性质
Γ函数在实轴上函数图形
当初,
欧拉反射公式:
由此可知当初, 。
乘法定理:
。
。
补充:
此式可用来帮助计算t分布概率密度函数、 卡方分布概率密度函数、 分布概率密度函数等累计概率。
[编辑] 特殊值
[编辑] 导数
[编辑] 复数值
[编辑] 斯特灵公式
斯特灵公式能用以估量Γ函数增加速度。
[编辑] 解析延拓
Γ函数绝对值函数图形
注意到在Γ函数积分定义中若取为实部大于零之复数、 则积分存在, 而且在右半复平面上定义一个全纯函数。 利用函数方程
并注意到函数在整个复平面上有解析延拓, 我们能够在时设
从而将函数延拓为整个复平面上亚纯函数, 它在有单极点, 留数为
多伽玛函数
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阶多伽玛函数是伽玛函数第个对数导数。
在这里
是双伽玛函数, 是伽玛函数。 函数有时称为三伽玛函数。
伽