代发表数学论文.doc

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篇1
浅析高等数学中的数学思想
一、函数思想
函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。
在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。
例1，证明：当x>0时，x- <1n(1+x)。
分析：这是一个不等式证明问题，直接证明有一定难度，但是将此问题转化为函数问题的单调性，即可解决问题。
证明：构造辅助函数f(x)=1n(1+x)-x+ ，则f`(x)= -1+x，可证当x>0时，f`(x)>0，因此单调递增。又因为f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，即原不等式成立。
例2，判断(-1)n 的敛散性。
分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。
解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判断通项的绝对值un= =是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f(x)= ，由于f`(x)= ，当x>9时，f`(x)<0，即f(x)在(9，+)内单调递减。将特殊值x=n(n为大于9)的自然数代入知，un=f(n)也递减且极限为0，故此级数收敛。
二、极限的思想
极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科。极限是研究无限的有力工具，"极限"揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小(大)量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想。另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等。学习者以"极限理论"为工具，以现实具体的问题为背景，从具体到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本质，可以增强分析和解决问题的能力。
对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。
例3，如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是s=f(t)，其中t为时间，s是距离，求它在时刻t0的瞬时速度。
解：物体从时刻到时刻这段时间内的平