GCT微积分.doc

第一章 函数 极限 连续
第一节 极限
一、数列极限

设数列，当项数无限增大时，如果无限趋近于某个常数A，则称A为数列的极限，记作

若时，，则
（1）；(2) ; (3)

（1）单调递增有上界的数列必有极限
（2）单调递减有下界的数列必有极限
（3）夹逼法则：若，，且，则

二、函数极限

（1），指的是时，的函数值无限趋于常数A；
的充分必要条件是
比如，，不存在。
（2），是指当无限趋于时，的函数值无限趋于常数A；
比如，函数 ，当时，极限是4，与处的函数值无关。
（3）左极限，右极限
的充分必要条件是
极限不存在的三种情形：
左、右极限都存在，但不相等；比如，
左、右极限有一个不存在；比如，
左、右极限都不存在；比如，

（1）唯一性
（2）局部有界性：若，则在附近有界
（3）局部保号性：若，则在附近

（1）四则运算法则
（2）夹逼法则
（3）复合函数的极限法则
设，若，，则；
比如 ，

（1）
（2）
5. 洛比达法则
例1.
求
求

例3
例4. ＝（ ）
A、- B、-1 C、0 D、1
例5.
例6. 型，有理、无理分式求极限
例7. ，（利用）
（1）
（2）
三、无穷小量与无穷大量

若，则称当时是无穷小量；若，则称当时是无穷小量。简称无穷小。

（1）有限个无穷小量的和、差仍为无穷小量；
（2）有限个无穷小量的积仍为无穷小量；
（3）有界函数与无穷小量的积仍为无穷小量；
（4）常量与无穷小量的积仍为无穷小量；

设（或）时和都是无穷小量，则
当时，称是比高阶的无穷小量，记作
当时，称和是同阶无穷小量，特别地，当时，称和是等价无穷小量，记作
定理：（等价无穷小量的替换）设时， ，，都是无穷小量，且，，若存在，则
常见的等价无穷小有：
当时，有，；
当时（如，()）, ,有

定义：设当（或）时，函数的绝对值无限增大，则称（或）时为无穷大量，简称无穷大，记为（或）
注意：在时为无界函数，但不是无穷大量。
定理：当（或）时，若为无穷大量，则为无穷小量；若为无穷小量且在附近不等于零，则为无穷大量



第三节 函数的连续性
一、函数连续性的定义
1. 函数在点处连续，有，即
。
2. 函数在点处连续
例1
例2.
三、函数的间断点

如果有下列情形之一发生，则称点为的间断点：

（1）第一类间断点。当和都存在，并且两者相等，当不等于时，称为可去间断点；当和都存在，但不相等时，称为跳跃间断点。
（2）第二类间断点。的非第一类间断点称为第二类间断点。当和至少有一个为时，间断点称为无穷间断点；当振荡不存在时，称为振荡间断点。
例1.
在处的连续性。
四、连续函数的性质
：设函数在闭区间上连续，则在上存在最大和最小值。
：设函数在闭区间上连续，则对于与之间的任一数，存在，使得。
3. 零点存在定理：设函数在闭区间上连续，且与异号，则在开区间内至少存在一点，使得。
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、导数的定义
。如果或
存在，则称在点可导，此极限值为在点的导数，记作或或
：；
；
，则称为导函数。
，且，求
，且满足条件，则曲线在
的切线斜率为
例3.
若函数f(x)可导，且，则=（ ）
A. 0 B. 1
C. D. 4
例4.
二、函数可导与连续的关系
定理：若在点处可导，则在点处连续。逆定理不成立。
比如, 在处连续但不可导。
例1.
例2. 设函数g(x)在x＝0点某邻域内有定义