不定积分计算方法(精).doc

a=x 0x 1x 2x i -1x ix n -1x n=b ? iO ? n? 1? 2y=f (x )x y 第一讲定积分的概念教学目的:掌握定积分的有关概念和基本性质难点:无限细分和累积的思维方法重点:微元法思想和定积分的基本性质教学内容: 定积分是微积分学的重要内容之一,它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系,并且,定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. ,我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念,然后讨论它的性质、计算方法与应用. 一、问题的提出 1 、曲边梯形的面积在初等数学中,我们学面封闭图形( 如三角形、圆等) “曲边”,我们怎样来计算它们的面积呢? 下面以曲边梯形为例来讨论这个问题. 设函数)(xfy?在],[ba 上连续. 由曲线)(xfy?与直线 ax?、bx?、x 轴所围成的图形称为曲边梯形( 如图). 为讨论方便,假定 0)(?xf . 由于函数)(xfy?上的点的纵坐标不断变化,整个曲边梯形各处的高不相等, 差异很大. 为使高的变化较小,先将区间],[ba 分成 n 个小区间, n????????? 210 在每个分点处作与 y 轴平行的直线段,将整个曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,其中第i 个小区间的长度为?? ixnixx ii,,2,1, 1??????.由于)(xf 连续,故当 ix?很小时,第i ],[ 1iixx ?上任取一点 i?,则可认为第 i 个小曲边梯形的平均高度为)( if?,因此,这个小曲边梯形的面积 iiixfA????)(?. 用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面积的近似值???????? ni ii ni ixfAA 11)(?. 可以看出:对区间],[ba 所作的分划越细,上式右端的和式就越接近 A .记}{ max 1 inix?????,则当 0??时,,所求面积????? ni iixfA 1 0)( lim ??. (1) 2、变速直线运动的路程设物体作直线运动,速度)(tv 是时间 t 的连续函数,且 0)(?tv . 求物体在时间间隔],[ba 内所经过的路程 s .由于速度)(tv 随时间的变化而变化,因此不能用匀速直线运动的公式时间路程=速度?)(tv 连续,当t 的变化很小时,速度的变化也非常小,因此在很小的一段时间内,],[ba 可以划分为若干个微小的时间区间之和,所以,可以与前述面积问题一样,采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割:用分点 btttta n????????? 210将时间区间],[ba 分成 n 个小区间],[ 1iitt ?),2,1(ni????, 其中第 i 个时间段的长度为 1???? iiittt ,物体在此时间段内经过的路程为 is?. (2) 求近似:当 it?很小时,在],[ 1iitt ?上任取一点 i?,以)( iv?来替代],[ 1iitt ?上各时刻的速度,则 iiitvs????)(?. (3) 求和:在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值,再求和,得 i ni i ni itvss????????11)(?. (4) 取极限:令}{ max 1 init?????,则当 0??时,上式右端的和式作为 s 近似值的误差会趋于 0,因此????? ni iitvs 1 0)( lim ??. (2) 以上两个例子尽管来自不同领域,,在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中,都会出现这种形式的极限,因此,有必要在数学上统一对它们进行研究. 二、定积分的定义定义设函数)(xf 在区间],[ba 上有定义,任意用分点 bxxxxa n????????? 210 将],[ba 分成 n 个小区间,用 1???? iiixxx 表示第 i 个小区间的长度,在],[ 1iixx ?上任取一点 i?,作乘积 iixf??)(?,ni,,2,1????.再作和??? ni iixf 1)(?. 若当0}{ max 1????? inix?时,上式的极限存在,则称函数)(xf 在区间],[ba 上可积,并称此极限值为)(xf 在],[ba 上的定积分,记作? badxxf)( .即?????? ni ii baxfdxxf 1 0)( lim )(??. (3) 其中)(xf 称为被积函数,dxxf)( 称为被积表