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第一章数和数的运算一概念(一)整数 1 整数的意义自然数和 0 都是整数。 2 自然数我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1 ,2 ,3 ……叫做自然数。一个物体也没有,用 0 表示。 0 也是自然数。 3 计数单位一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5 数的整除* 整数 a 除以整数 b(b ≠0 ),除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a 。* 如果数 a 能被数 b (b≠0 )整除, a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数) 。* 倍数和约数是相互依存的。因为 35 能被 7 整除,所以 35 是7 的倍数, 7 是 35 的约数。* 一个数的约数的个数是有限的, 其中最小的约数是 1 , 最大的约数是它本身。例如: 10 的约数有 1 、2 、5 、 10 ,其中最小的约数是 1 ,最大的约数是 10 。* 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。 3 的倍数有: 3 、6 、9 、 12 ……其中最小的倍数是 3 ,没有最大的倍数。* 个位上是 0 、2 、4 、6 、8 的数,都能被 2 整除,例如: 202 、 480 、 304 ,都能被 2 整除。* 个位上是 0 或5 的数,都能被 5 整除,例如: 5 、 30 、 405 都能被 5 整除。* 一个数的各位上的数的和能被 3 整除, 这个数就能被 3 整除, 例如: 12 、 108 、 204 都能被 3 整除。* 一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除。* 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。* 一个数的末两位数能被 4 (或 25 ) 整除, 这个数就能被 4 (或 25 ) 整除。例如: 16 、 404 、 1256 都能被 4 整除, 50 、 325 、 500 、 1675 都能被 25 整除。* 一个数的末三位数能被 8 (或 125 )整除,这个数就能被 8 (或 125 )整除。例如: 1168 、 4600 、 5000 、 12344 都能被 8 整除, 1125 、 13375 、 5000 都能被 125 整除。* 能被 2 整除的数叫做偶数。* 不能被 2 整除的数叫做奇数。*0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。* 一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数), 100 以内的质数有:2 、3 、5 、7 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 、 31 、 37 、 41 、 43 、 47 、 53 、 59 、 61 、 67 、 71 、 73 、 79 、 83 、 89 、 97 。* 一个数,如果除了 1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4 、6 、8 、9 、12 都是合数。*1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和 1 。* 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如 15=3 ×5 ,3 和5 叫做 15 的质因数。* 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。* 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数, 例如 12 的约数有 1 、2 、3 、4 、6 、 12 ; 18 的约数有 1 、2 、3 、6 、9 、 18 。其中,1 、2 、 3 、6 是 12 和18 的公约数, 6 是它们的最大公约数。* 公约数只有 1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1 和任何自然数互质; 相邻的两个自然数互质; 两个不同的质数互质; 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有 1 时, 这两个合数互质, 如果几个数中任意两个都互质, 就说这几个数两两互质。* 如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。* 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是 1 。* 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如 2 的倍数有 2 、4 、6 、8 、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 …… 3 的倍数有 3 、6 、9 、 12 、 15 、 18 ……其中 6 、 12 、 18 ……是2 、3 的公倍数,6 是它们的最小公