全国大学生数学建模竞赛—参考论文.doc

路灯的更换策略
摘要
本文针对路灯的更换策略中最佳更换周期的确定做了深入的研究，根据路灯更换的周期对平均费用影响的分析可知该问题是一类基于概率模型的周期性更换策略问题。对此，本文建立了微分方程模型进行讨论求解。
首先，我们采用数理统计的思想，利用题中给出了200个抽样灯泡的寿命，借助SPSS应用统计软件和MATLAB软件工具箱对样本进行了假设检验以及参数估计，检验结果显示，，。
对于问题（1），先确定了以单位时间内路政部门所花费最小为判断指标，通过计算推导得到了单位时间所花费的平均费用关于周期的表达式，即单位时间内所花的平均费用为一个周期内所花的总费用除以一个周期的小时数，周期的总费用包括灯泡成本以及罚款费用。然后对该函数进行微分求导，在导数为0的情况下求解最佳更换周期的表达式，经化简，得到为最佳周期时的等式。
对于问题（2），在问题（1）以及数据处理阶段的基础上，对模型进行了求解。采用遍历的思想，用MATLAB对周期在某一范围内进行遍历代入问题（1）中求得的关系式进行计算，当（1）中关系式成立时，输出的周期为最佳周期，即4314小时。
对于问题（3），在问题（1）的基础上，考虑更换下来的未损坏路灯的回收价值，对模型进行修改，在从费用中减去该部分的价格，按照问题（1）的推导的思路以及问题（2）中的算法对该问题进行分析求解，。
最后，本文对模型中涉及的罚款费用做了敏感性分析，并结合实际做了的优缺点进行了评价，提出了离散的时间模型的改进方案，对模型进行了简单的推广。
关键词： 假设检验；周期性更换策略；微分方程模型；敏感性分析
问题的提出和重述

路灯的更换和维护是路政部门的一项重要的工作，在更换路灯时间的选择上，路政部门需要考虑到跟换的成本，灯泡的寿命等众多因素。而在更换时，花费的精力和成本主要是要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡，向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请，雇用的各类人员支付的报酬等，这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高，因此，灯泡坏一个换一个的办法是不可取的。根据路政部门的经验，要采取整批更换的策略，即到一定的时间，所有灯泡无论好与坏进行全部更换。
灯泡更换的要考虑另一因素是上级管理部门会通过监察灯泡是否正常工作对路政部门进行管理，一旦出现一个灯泡不亮，管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。本题要求向某城市的路政部门给出一种最佳的更换灯泡的方案。

问题1：由于换灯的时间早了，很多灯泡还没有坏；晚了，要承受太多的罚款，因此要求建立一个数学模型，求出更换周期的表达式，以解决路政部门面临的问题，即多长时间进行一次灯泡的全部更换。
问题2：现抽查某品牌灯泡200个，测的其寿命（见附录一），根据每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)为80元，，计算出应多长时间进行一次灯泡的全部更换。
问题3：考虑到没有坏的灯泡还有一定的回收价值(常数)，建立相应的数学模型，并求出更换周期的表达式。如果该品牌每个未坏灯泡的