函数周期性与对称性总结.doc

一:有关周期性的讨论
在已知条件或
中，
（1） 等式两端的两自变量部分相加得常数,如,说明的图像具有对称性,其对称轴为。
（２)等式两端的两自变量部分相减得常数,如，说明　f（x)的图像具有周期性,其周期T=a+b。
设为非零常数，若对于定义域内的任意恒有下列条件之一成立
周期性规律 　 　 　 　　 对称性规律
（1） （1）
（2） 　 　 　 　　 （2） 　 　
（3）　 　 （３)
(４） 　（4) 　
（5）　 　　 （５)
(6)　
(7）
(8) 　 　
(9) 　　 　
（1０） ,
(11) 若函数同时关于直线， 对称则函数的周期
（12）　若函数同时关于点, 对称,则函数的周期
（13） 若函数同时关于直线　对称，又关于点对称则函数的周期
(14) 若偶函数y＝f（ｘ）的图像关于直线x=a对称，则f(x）为周期函数且T=2
（15） 若奇函数y＝ｆ（x)的图像关于直线x＝a对称,则f（x）为周期函数且Ｔ＝４
(1６)　若奇函数y=f（x）满足f(ｘ+T)＝f(x）(x∈Ｒ，T≠0），则f（)=０.　⒈ 若的图象关于
两类易混淆的函数问题：对称性与周期性
例1。　已知函数ｙ＝ f（x)(x∈Ｒ）满足f（5+ｘ）= f（５—x）,问：y= f(x)是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？
例2.　已知函数ｙ= ｆ（x）(ｘ∈R）满足f(ｘ+5）= f（x—5)，问:y＝ f(x)是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？
定理1：如果函数y＝　f(x）(x∈Ｒ)满足,那么ｙ= f（x)的图像关于直线对称。
证明：设点是