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1 2009 学年高三数学推理与证明测试题( 文科) 广州市玉岩中学吴华东一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 ,只有一个是符合题目要求的. 1. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如: 他们研究过图 1 中的 1,3,6, 10,…, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数; 类似的, 称图 2 中的 1,4,9, 16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378 2 .在 R 上定义运算).1(:yxyx????若不等式 1)()(????axax 对任意实数 x 成立, 则( ) ???a ??a 32 1???a 12 3???a 3. 已知数列}{ na 满足)(13 3,0 *11Nna aaa n nn??????,则 20a =() ? 3 4. 观察式子: 4 74 13 12 11,3 53 12 11,2 32 11 222222?????????,…,则可归纳出式子为( ) A、12 113 12 11 222?????nn ? B、12 113 12 11 222?????nn ? C、n nn 1213 12 11 222?????? D、12 213 12 11 222?????n nn ? 为正整数, 1 1 1 ( ) 1 ... 2 3 f n n ? ????,2 经计算得 3 5 7 (2) , (4) 2, (8) , (16) 3, (32) , 2 2 2 f f f f f ? ????观察上述结果, 可推测出一般结论() A. 2 1 (2 ) 2 n f n ?? ( ) 2 n f n ?? (2 ) 2 nnf ?? D. 以上都不对 6 .设)(xf 是定义在正整数集上的函数,且)(xf 满足:“当 2 ( ) f k k ≥成立时,总可推出( 1) f k ?≥ 2)1(?k 成立”. 那么,下列命题总成立的是( ) 1)1(?f 成立,则 100 ) 10 (?f 成立 4)2(?f 成立,则(1) 1 f≥成立 (3) 9 f≥成立,则当 1k≥时,均有 2 ( ) f k k ≥成立 ( 4) 25 f≥成立,则当 4k≥时,均有 2 ( ) f k k ≥成立 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”( 即对任意的 a b S ?, , 对于有序元素对( a b , ) ,在 S 中有唯一确定的元素* a b 与之对应) .若对任意的 a b S ?, ,有( ) * * a b a b?, 则对任意的 a b S ?, , 下列等式中不恒成立的是() A. ( ) * * a b a a ? B. [ ( )] ( ) * * * * a b a a b a ? C. ( ) * * b b b b ? D. ( ) [ ( )] * * * * a b b a b b ? 8. ( ) f x 是定义在(0 ) ??, 上的非负可导函数,且满足( ) ( ) 0 xf x f x ??≤.对任意正数 a b , ,若 a b ?,则必有( ) A. ( ) ( ) bf a af b ≤ B. ( ) ( ) af b bf a ≤ C. ( ) ( ) af a f b ≤ D. ( ) ( ) bf b f a ≤ 9. 对于非零实数 a b , ,以下四个命题都成立: ①0 1??a a ;②2222)(bab aba????; ③若||||ba?,则ba??;④若 ab a? 2 ,则ba?. 那么,对于非零复数 a b , ,仍然成立的命题的所有序号是() A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 10. . 已知二次函数 2 ( ) f x ax bx c ? ??的导数为( ) f x ?, (0) 0 f ??,对于任意实数 x ,有( ) 0 f x ≥,则(1) (0) ff ?的最小值为( ) A. 3 B. 52 C. 2 D. 32 3 二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.