高中三角函数知识点与常见习题类型解法.doc

三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式： 　R为圆弧的半径,为圆心角弧度数，为弧长。
（2）扇形的面积公式： 　 R为圆弧的半径，为弧长。
（3）同角三角函数关系式:
　 ①倒数关系: ②商数关系：,
③平方关系：
（４）诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指的是整数的奇偶性；
函 数
2、两角和与差的三角函数：
（1)两角和与差公式:
　　
　 　【注：公式的逆用或者变形】
（２)二倍角公式：
　
　
从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：　， 　
(3）半角公式（可由降幂公式推导出）:
， ,
3、三角函数的图像和性质：（其中）
三角函数
图像
定义域
（－∞，+∞)
（—∞，+∞)
值域
［—１,1］
[－1,１］
(-∞,+∞)
最小正周期
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
对称轴:
对称性
对称中心:
对称轴:
对称中心:
对称中心：
零值点
最值点
无
4、函数的图像与性质:
（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）
（1）函数和的周期都是
（2)函数和的周期都是
（3）五点法作的简图，设,取0、、、、来求相应的值以及对应的值再描点作图。
(4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，,即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
【函数的平移变换】:
　 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位（左加右减)
　② 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）
【函数的伸缩变换】:
　 ① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
倍（缩短, 伸长）
　　　 ② 将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍（伸长,缩短）
【函数的对称变换】:
①） 将图像绕轴翻折1８0°(整体翻折）；
（对三角函数来说:图像关于轴对称)
②将图像绕轴翻折1８0°（整体翻折);
（对三角函数来说:图像关于轴对称）
③　将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）；
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动)
５、方法技巧-—三角函数恒等变形的基本策略。
（１）常值代换：特别是用“1"的代换；
如等.
（2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项：；
配凑角:;等。
（3）降次与升次；切化弦法。
（４）引入辅助角。
，这里辅助角所在象限由的符号确定，角的值由确定。
【典型例题】：
１、已知,求的值.
解：因为，又，
联立得
解这个方程组得
2、求的值.
解：原式
3、若，求的值.
解:法一:因为
所以
得到,又,联立方程组，解得
所以
法二：因为
所以，
所以，所以,
所以有
4、求证:。
证明:法一：右边＝；
法二：
左边=
5、求函数在区间上的值域。
解：因为，所以,由正弦函数的图象,得到
，所以
6、求下列函数的值域。
（１）;ﻩ　 　 ﻩ（２））
解：（1）
=
令，则
利用二次函数的图象得到
(2)
=
令,则
则利用二次函数的图象得到
7、若函数ｙ＝Ａｓin（ωx＋φ)（ω〉0，φ＞0）的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(６,０），求这个函数的一个解析式。
解：由最高点为,得到，最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得,T=16，所以
又由，得到可以取
8、已知函数f(ｘ)=ｃoｓ４x—2sinｘcosx－sin４x．
(Ⅰ)求f（x）的最小正周期； 　（Ⅱ)若求f(x）的最大值、最小值．数的值域。
解：(Ⅰ)因为f(x）=coｓ4x—２ｓinxｃosｘ-ｓin4x=(cｏs2ｘ-sin2ｘ)(ｃos２ｘ＋sin2x）－