高三复数复习专题.doc

高三复数专题复习：
一、复数的概念及运算：
1、复数的概念:(1）虚数单位;
(２)实部：，虚部:；
(３)复数的分类（)；
（4)相等的复数：
2、复数的加、减、乘、除法则：
（1)加减法具有交换律和结合律；
（2）乘法具有交换律、结合律、分配律；
(3）除法：。
3、复数的共轭与模：
（１);是纯虚数，反之不成立；
（２)复数与点是一一对应关系，另：与关于轴对称，表示对应点与原点的距离。
4、复数共轭运算性质:；
5、复数模的运算性质：。
6、复数的模与共轭的练习:.
7、 重要结论
对复数z 、、和自然数m、n，有
,,
（2） ,，，;
　 　 ,,,.
（３) ,，．
（４)设，，,，,

二、复数的三角形式：
1、复数的三角形式概念：
2、复数的三角形式的乘法公式：
即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和.
3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理)
即：复数的n（n∈Ｎ)次幂的模等于模的n次幂,辐角等于这个复数的辐角的ｎ倍，这个定理称为棣莫佛定理。
4、复数的三角形式的除法公式
即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。
三、复数中的方程问题:
1、实系数一元二次方程的根的情况：
对方程（其中且），令，
当时，方程有两个不相等的实数根。
当=0时，方程有两个相等的实根；
当时,方程有两个共轭虚根：。
2、复系数一元二次方程根的情况：
对方程;
3、一元二次方程的根与系数的关系：
若方程（其中且）的两个根为，则
；
四、例题精选
例1：已知，求;
例2：已知，求;
例３：设为虚数，为实数，且。
(1）求的值及的实部的取值范围；
(2）证明：为纯虚数;
例4:已知关于的方程有两个根，且满足。
（1）求方程的两个根以及实数的值；
（2)当时，若对于任意,不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。
例５：已知复数满足，其中为虚数单位，,若,求的取值范围。
例6:设虚数满足。
（1)求的值;
（２)若为实数,求实数的值；
（3)若在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上,求复数。
例7：已知方程有两个根和，。
（1）若,求实数；
（2）若,求实数;
例8:已知复数是方程的根,复数满足，求的取值范围。
例９:关于的方程有实根，求一个根的模是2,求实数的值。
例１0:设两复数满足（其中且,），求是虚数。
（1）求证:是定值，求出此定值;
(2）当时，求满足条件的虚数的实部的所有项的和。
例11:设两个复数满足，并且是虚数，当时，求所以满足条件的虚数的实部之和。
例12:计算：(1)
(2）
(3）
例1３：给定复数，在，这八个值中,不同值的个数至多是_＿_＿__＿＿＿__。
例14：已知下列命题
(１）；（2）为纯虚数;（３)；
（4);（5);(6）.
其中正确的命题是＿＿＿______＿_＿;
例１５:是否存在复数同时满足条件:①;②的实部、虚部为整数。若存在,求出复数,若不存在，说明理由。
例16：设是已知复数,为任意复数且，则复数对应的点的轨迹是( 　 　)
A、以的对应点为圆心、1为半径的圆;
B、以的对应点为圆心，1为半径的圆；
C、以的对应点为圆心、为半径的圆；
Ｄ、以的对应点为圆心，为半径的圆；
例17:满足方程的复数对应的点的轨迹是　（ ）。
A、圆 　 　B、椭圆 　 　 C、双曲线　 　 D、抛物线
例1８：复平面内,满足的复数所对应的点的轨迹是 （ 　　 　）
Ａ、椭圆 B、双曲线 　 　 　　C、一条线段　 　 　 D、不存在
例19：满足方程的复数对应的点的轨迹是 　　 ( 　 ）
A、四个点 　 B、四条直线 　　 　 C、一个圆　 　D、两个圆
例20:设复数，当在内变化时,求的最小值。
例21：若复数和满足：,且。和在复平面中对应的点为和，坐标原点为Ｏ，且，求面积的最大值，并指出此时的值。