欧氏空间.docx

第八章欧氏空间
一、 填表空题(每小题3分，共15分)
欧氏空间 R4 中，a =(2,1,3,2),P =(1,2,—2,1)，贝U|a|=, | E |=
a与E的火角
2 .。为欧氏空间V的线性变换，则。为正交变换当且仅 当;。为对称变换当且仅当 .
设％ =(0,—1,1),0(2 =(2,1,-2), E =kot1 +"若 E 与S正交，WJ k =.
A,B为n阶正交矩阵，且|A|》0,|B|<0，贝U|AB|=.
(„ Bl
5 . 是三维欧氏空间R3的向量，则式子(a,P尸， ——，与 ， 胛| |E|.J
(7,(a - P))中表示向量的是 .
二、 判断说明题(先判断正确与错误，再说明理由 .每小题5分，共20分)
欧氏空间V中保持任两个非零向量的火角不变的线性变换必为正交变换.
正交向量组必线性无关.
实数与对称变换之积必是对称变换.
欧氏空间R2中，<r(x, y) = (2x + y, x-2y)为对称为变换.
三、 计算题(每小题15分，共45分)
.求齐次线性方程组
x1 + x2 - x3 + x4 - 3x5 = 0
X + x2 _ 3x3 + x5 = 0
的解空间的一组标准正交基.
.在R2中，对任意向量a =(31,82)，臼=(bj,b2),定义
c (1 —1 L
(a,E)=a P'
1-1 4 )
证明：R2作成欧氏空间.
写出这个欧氏空间的柯西一施瓦兹不等式.
「2—20、
A= —2 1 -2
<0 -2 0J
求正交矩阵U,使U 'AU为对角形.
四、证明题（每小题10分，共20分）
1. A为n阶实对称矩阵，且A2=I .证明：存在正交矩阵U,使
U」AU =
其中r为A的正特征值的个数.
设«1«2" «：这组基是标准正交基
的充分必要条件是，对 V中任意向量a都有
：•=（：•，: 1）：1 . （:，:w）, " ：M" n ：•