唐金东开题报告.doc

定积分在物理中的应用
学 生：唐金东
指导教师：陈江宏
三峡大学理学院
1 课题来源
定积分是高等数学的重要组成部分,在物理学中有广泛且重要的应用,但定积分的物理应用不易掌握。本课题主要利用“微元法”的思想求变力做功，水压力，引力和转动惯量等物理问题。
研究目的和意义
定积分在物理中有着极其广发的应用，在物理问题中，常遇到物理量具有连续性与可加性，要求求出物理量，重要的是找到d= ，然后应用微元法化为计算= 。
3 研究现状和发展趋势，学术动态，综合分析提出研究课题的主攻方向
一、功
1. 变力做功
设物体在变力F(x)作用下沿x轴由a处移动到b处,求变力F(x)所做的功。由于力F(x)是变力, 所求功是区间上非均匀分布的整体量, 故可以用定积分来解决。
利用微元法, 由于变力F(x)是连续变化的, 故可以设想在微小区间上作用力F(x)保持不变(“常代变”求微元的思想), 按常力做功公式得这一段上变力做功的近似值。
如图所示建立坐标系, 变力F(x)使物体从微小区间的左端点x处移动到右端x+dx点处, 所做功的近似值, 即功微元为
将微元dw从a到b求定积分, 得F(x)在整个区间上所做的功为

在原点O有一个带电量为+q的点电荷,它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一单位正电荷从距原点a处沿射线方向移至距O点为b(a<b)的地方, 求电场力做功? 又如果把该单位电荷移至无穷远处, 电场力做了多少功?
取电荷移动的射线方向为x轴正方向, 那么电场力为
(k为常数),
这是一个变力。在上,以常代变 得功的微元为
于是功为
若移至无穷远处, 则做功为

物理学中, 把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在a处的电位, 于是知电场在a处的电位为V=
二、液体的压力
从物理学知道, 在水深处的压强为p=, 其中是水的密度, g是重力加速度。如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处, 那么平板所受的水压力是P=pA。
如果平板铅直放置在水中, 那么由于水深不同的点处压强p不相等,平板一侧所受的水压力就不能用上述公式计算。下面我们举例说明它的计算方法。
设一个横放的半径为R的圆柱形水桶, 里面盛有半桶水, 计算桶的一个端面所受的压力(设水的密度为r)。
桶的一端面是圆板, 现在要计算当水面过圆心时, 垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力。
选取坐标系，圆方程为，取x为积分变量, 在x的变化区间内取微小区间, 视这细条上压强不变, 所受的压力的近似值, 即压力微元为
dp=rgxdS=2rgx
于是, 端面所受的压力为
三、引力问题
由万有引力定律, 两质点之间的引力为F=G 若要计算细棒对质点的引力, 须用微元法解决。
设有质量为M, 长度为l的均匀细杆, 另有一质量为m的质点位于同一直线上, 且到杆的近段距离为a,求杆对质点的引力。
取x为积分变量, 变化区间为, 任意小段近似于质点, 且质量为，则引力微元为
则引力F为
四、转动惯量
在刚体力学中转动惯量是一个重要的物理量, 若质点质量为m, 到