《一阶变分变分法》.ppt

dL
 泛函与变分定义 泛函的概念引例1： 平面两点 A (x0, y0)、B (x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。解：设A、B 两点间函数为y=y(x) 则由弧长微分公式  L 随函数y =y(x) 的选取而变，它是一个泛函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极值的自变函数曲线为 y =c1x+c2 ,1阶导数2个待定常数其中常数 c1 、c2可由边界点A、B的坐标（即边界条件）确定。
B (x1, y1)
两点间的最短弧线
y
A (x0, y0)
y=y(x)
x
o
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引例2：求通过两点A (x0, y0)、B (x1,, y1)且长度l 为一定值的函数曲线y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
（）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度

（）
这是带约束条件的泛函极值由间接
变分法，泛函As的极值曲线为
其中常数c1,c2, r 可由条件

来确定。
曲边梯形的面积
x
A(x0 , y0)
y
o
B(x1,y1)
C
D
y
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引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作φ[y(x)]或φ(y)等。
变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
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泛函自变函数的变分
函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变量x微分。
泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy
δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
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零阶接近度：对任何x值， 一阶接近度:不仅纵坐标值很接近.  y1(x) 和y2(x)的差都很小， δy = y2(x) – y1(x) δy = y2(x) –y1(x)很小 . δy′= y(x)′–y1(x)′也很小…………n阶接近度：
曲线的接近度
(a)
y
x
o
y2=y2(x)
y1=y1(x)
(b)
y
x
0
y2=y2(x)
y1=y1(x)
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dy和δy的区别
dy : 是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数值增量的线
性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？
δy：
是在x不变时，针对两条接近
的函数曲线 y(x) 和 y1(x)
的微差 y 。
 y 是x 的函数。
 y 在边界点一定为零。
y=y(x)
x
y
o
dy
δy
y1=y1(x)
△x=dx
图 dy和δy的区别
y
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泛函的变分
微分一般定义 ：△y=y(x+△x)-y(x)
＝A(x)△x + (x,△x)△x
拉氏定义：微分也等于y(x+ε△x)对ε导数在ε=0时的值。
()
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泛函变分定义
一般定义：
是泛函增量的 线性主部
拉格朗日定义
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即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：
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例：简单泛函 一阶变分。
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