圆锥曲线又一个统一的几何性质 圆锥曲线的几何性质.docx

圆锥曲线又一个统一的几何性质 圆锥曲线的几何性质

　　湖北阳新高级中学 435200 　　摘要：本文介绍了圆锥曲线的又一个统一的几何性质. 不难看出《圆锥曲线“友好”新看法》一文中的四个结论分别是本文所论述的四个定理中当点F为焦点、点N为对应准点时的一个特例. 其次，能够说本文是《圆锥曲线的一个优美性质》的姊妹篇.
　　关键词：圆锥曲线；统一；几何性质
　　笔者在研究圆锥曲线时，发觉了圆锥曲线的又一个统一的几何性质，现介绍以下.
　　定理1 OX是顶点为O的抛物线的对称轴，点N，F在该对称轴上且分别在点O两侧，OF=ON，过点N的直线交抛物线于A，B两点，则∠AFN=∠BFX.
　　证实 设OF=ON=d，建立直角坐标系图1所表示，则抛物线的方程为y2=2p・，即y2=2px+2pd①. 又直线AB过点N，故可设直线AB方程为： x=my－2d②. 把②代入①化简得y2-2pmy+2pd=0③.
　　[y][x][F][O][N][A][B]
　　图1
　　设A，B，则y1，y2是方程③的两个根，由根和系数的关系得y1+y2=2pm，y1y2=2pd，因此kFA+kFB=+=，把点A，B的坐标代入②得x1=my1－2d，x2=my2－2d，因此
　　y1x2+y2x1=y1+y2
　　=2my1y2－2d
　　=2m・2pd－2d・2pm=0。
　　故kFA+kFB=0。
　　即tan∠AFX+tan∠BFX=0，故tan+tan∠BFX=0，故tan∠AFN=tan∠BFX，故∠AFN=∠BFX.
　　定理2 OX是中心为点O，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的对称轴，点N，F在该对称轴上且在点O的同侧，OF=dy2－2a2b2mdy+a2b2・=0③.
　　设A，B，则y1，y2是方程③的两个根，由根和系数的关系得
　　y1+y2=，y1y2=。
　　故kFA+kFB=+=，把点A，B的坐标代入②得
　　x1=my1－，x2=my2－，因此。
　　y1x2+y2x1=y1my2－
　　+y2my1－
　　=2my1y2－
　　=－・=0。
　　故kFA+kFB=0，即tan∠AFX+tan