75本征值与本征向量.ppt

线性变换的本征值和本征向量的定义
本征值和本征向量的计算方法
与本征值和本征向量相关的几个问题


(矩阵)的本征值和本征向量
的方法

线性变换(矩阵)的特征值和特征向量的求法
本征值和本征向量
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复习与引入:
问题1: 在向量空间V中,同一线性变换关于不同基的矩阵有
什么关系? 这种关系是如何刻划的?
问题2: 矩阵的这种相似关系对于我们研究线性变换有什么
启发?
问题3: 线性变换关于向量空间V 中某个基的矩阵为这种简
单形式的矩阵(准对角矩阵或者甚至就是对角形),这与什么
理论有关?你认为应该怎样选取这个基呢?
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即设dimV=n，σ∈L(V)，在什么条件下可找到V 的一
个基 ，使得σ关于这个基的矩阵为对角形
要做到这一点，，因而只能从另外的方面讨论.
即：
(*)?
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显然,从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个
重要启示，即研究线性变换σ，很重要的一点就是设法去寻找满足条件 的数λ和非零向量 ，这就是下面要介绍的线性变换的本征值和本征向量问题.
值得一提的是:
本征值----也叫特征值;
本征向量----也叫特征向量.
以后我们可以根据自己的喜好称呼它们.
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特征值和特征向量的定义
定义1：设V是数域F上的向量空间,σ是V F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量 ，使得
那么称λ为线性变换σ的一个特征值， 称为σ的属于特征值λ的一个特征向量.
2) 本征值和本征向量这两个概念是相互联系着的，它们的
关系是“共生”，有本征值必有本征向量；反过来，本征向量
是相对于某一本征值而言的;
Note:
1) 本征向量必须是一个非零向量;
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例题（P290---例1、2、3，略）
4）在关系式中，尽管 对于任意λ都成立，但此时的
却不是特征向量，因而要把它除外;
3） 的本征值 必须属于数域F(讨论的范围，基础域），否则 无意义;
5）特征值、特征向量与一维不变子空间有密切联系;
6）一个线性变换的本征值不唯一，且属于同一本征值的本
征向量亦不唯一(例2,例1);
7) 同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同;
8）并不是每个线性变换都有特征值(例3).
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寻求特征值和特征向量的方法
设(V,F,dimV=n), 是V 的基,
σ关于这个基的矩阵是
令
令σ的属特征值λ
的一个特征向量,则
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或
（＊)
由于 ,所以齐次线性方程组(＊)必有非零解,因而
由此可求特征值λ.
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有非零解　　　　　　　，因而
反过来,若 满足 ,则齐次线性方程组(*)
满足　　　　　　，即　是　　的一个特征值，　就是
属于　　的一个特征向量．
对于行列式　　　　，我们给出
定义2：设
由此可求属于　的特征向量　．
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则行列式
称为矩阵A的特征多项式．
称为A的特征方程，
称为矩阵A的特征矩阵．
由此不难看出，若Ａ是线性变换　关于Ｖ中某个基的矩阵，
而　是　的一个特征值，则　是Ａ的特征多项式　　的根
于是
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