莫让思维陷入极度深寒.doc

莫让思维陷入极度深寒
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　　 纵观2010年高考数学全国卷理（Ⅰ）,最初的感觉是试题中陷阱重重、考点密布、思维量大,使许多考生纷纷“喊难”.但细细思量每道考题,推敲之后可以定论试题的整体水平及质量还是很高的，并没有脱离考纲要求.??
　　【题目】已知数列｛a??n｝中，a??1=1,a????n+1??=c-1a??n.??
　　（??I??）设c=52，b??n=1a??n-2，求数列｛b??n｝的通项公式；??
　　（??II??）求使不等式a??n＜a????n+1??＜3成立的c的取值范围.??
　　初看此题便会想到能否直接求出a??n的通项公式？或者在没有明确的解题思路时列出数列的前几项，期望从中能得到启示
.在做第（??I??）问时我们尝试求出了几项：∵a??1=1，∴a??2=32，a??3=116，…；接着再求出b??1=－1，??b??2=－2，??…，即使再多求出几项，b??？
　　而是避免正面强攻，采用迂回战略，所以我们就应：转换方向，“到敌人后方去”，打它个首尾不能兼顾，：??
　　
　　
　　
　　??（I??）解法一：（构造法）
　　??a????n+1??-2=52-1a??n-2=a??n-22a??n,1a????n+1??-2=2a??na??n-2=4a??n-2+2
　　，??
　　即b????n+1??=4b??n+2 ，b????n+1??+23=4(b??n+23),
　　?ビ?a??1=1，故b??1=1a??1-2=-1，所以｛b??n+23｝是首项为-13，公比为４的等比数列, ??
　　b??n+23=-13×4????n-1??,∴b??n=-13×4????n-1??-23.
　　??
　　附注：若f(x)=px+q,且p≠0,p≠1,λ是f(x)的不动点，a??n满足递推关系a??n=f(a????n-1??)(n＞1)，则数列｛a??n-λ｝是公比为q的等比数列.??
　　
　　解法二：(不动点法)??a??n=52-1a????n-1??=5a????n-1??-22a????n-1??，
　　由不动点法，设λ=5λ-22λ,??
　　解得λ=12,λ??2=2. ??
　　于是有a??n-12a??n-2=
　　(52-1a????n-1??)-12
　　(52-1a????n-1??)-2
　　=
　　2-1a????n-1??
　　12-1a????n-1??
　　=2(2a????n-1??-1)a