伽利略斜面实验的分析.pptx

伽利略斜面实验是普通物理学中的一个重要理想实验，由于教材体系、学生知识水平的缘故，均对其进行定性分析，以至于小球的受力、运动状态、能量转化不甚清晰，有必要对其进行定量分析而加以明确，并澄清相关的模糊认识．本文就此做些探讨，同时提出相应的教学建议．
2 伽利略斜面实验
伽利略斜面实验[1～3，6]如图1所示，小球沿导轨斜面1，从某高度处静止开始下滚，经导轨最低处，沿导轨斜面2上滚至略小于原高度处而速度为零 ；然后，再下滚、上滚，如此循环；但每次上滚的高度均略小于下滚时的高度．
1 引 言
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对上述伽利略斜面实验常见的解释[1～3，6]是：由于小球受到摩擦的缘故；且推理道：若不受摩擦，小球不仅可上滚至相同的高度，而且可沿水平面一直滚动下去．然而，小球究竟受到的是什么摩擦——滑动摩擦、静摩擦、滚动摩擦，还是笼统指三者？又见到对沿水平面无滑滚动时，小球不受静摩擦力的定性讨论[4]；但沿导轨斜面下滚、上滚时，小球的能量转化问题一般很少涉及．同时教学实际中，也见到不少教师仍沿用以上笼统解释．
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图1 伽利略斜面实验
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3 力学分析
动力学分析
小球沿斜面1下滚，小球、斜面视作刚体；小球与斜面间的最大静摩擦因数 ≥ 时，小球沿斜面做无滑滚动[6]；此时小球受重力 、支持力 、静摩擦力 ，如图2所示；建立坐标系o–xyz系，依刚体平面平行运动的动力学方程、无滑滚动方程[5～8]，有
（1）
（2）
（3）
（4）
o
x
y
图2 小球沿斜面下滚时受力图
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其中 为小球半径， 为转动惯量．
由式（1）～（4），得
可见，静摩擦力 的作用：一方面使小球质心的平动减速，另一方面使小球绕其质心轴的转动加速．
同理，小球沿斜面2无滑上滚，静摩擦力 ，坐标系o–xyz系，如图3所示，则有
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
o
x
y
图3 小球沿斜面上滚时受力图
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由式（7）～（9）、（4），得
（10）
（11）
易见，静摩擦力 的作用：一方面使小球质心的平动加速，另一方面使小球绕其质心轴的转动减速．
若斜面2变为水平面，小球做无滑滚动，如图4所示；那么，此时小球受静摩擦力 否？
为此，只需令式（11）中
的 ，得
（12）
（13）
（14）
x
y
o
图4 小球沿水平面滚动时受力图
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式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做无滑滚动时，不受静摩擦力 的作用；小球的质心匀速平动（相对水平面——惯性系），小球绕其质心轴匀速转动；即小球的运动状态（平动、转动状态）保持不变．
能量分析
若从能量观（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量转化．如图2所示，依刚体平面平行运动的能量方程（平动能量方程、转动能量方程）、无滑滚动方程[7]，有
（15）
（16）
（17）
其中 为小球滚下高 时质心的位移．
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由式（15）～（17）、（4），得
进而
（18）
（19）
（20）
式（19）、（20）表示了小球从静止开始沿斜面1质心下降高
时的平动动能和转动动能的量值．综合式（15）、（16）、（19）、（20）可知：重力 的作用是使小球质心的平动动能增大；而静摩擦力 的作用一方面使小球质心的平动动能减小，另一面使小球绕其质心轴的转动动能增加，且减小的量值与增加的量值相等．因此，静摩擦力 不耗损机械能，仅起把平动动能转化成转动动能的作用．
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同理，对小球沿斜面2上滚，即图3所示情形．可知：小球沿斜面2可上滚到相同的高度；重力 的作用是使小球质心的平动动能减小，静摩擦力 的作用是使小球绕其质心轴的转动动能转化成小球质心的平动动能．
对小球沿水平面做无滑滚动，即图4所示情形．因不受静摩擦力 的作用，故小球的平动动能和转动动能不再相互转化，而各自保持不变．
4 结 论
上述分析表明：正因为小球受到静摩擦力 、 的作用才使小球沿斜面下滚、上滚；小球只受静摩擦力作用时，可上滚至相同的高度．因此，