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模糊集理论及其应用陈水利第五章模糊线性变换与模糊综合评判 1 第五章模糊线性变换与模糊综合评判 模糊线性变换( P 3) 一级模糊综合评判( P 4~23 ) 多级模糊综合评判( P 24~51 ) 因素重要程度模糊集的确定方法( P 52~90 ) 模糊综合评判的 C语言程序 2 § 模糊线性变换 基本概念定义 设U ,V为两个论域, {A i|i?I } ?F (U ), 这里 I为任意指标集, 若 T : F (U)→F (V)满足 T(∪ i?I? iA i )= ∪ i?I? iT(A i) 则称 T为模糊线性变换, 其中?i?I, ? i?[0,1] . 例如: 设 A ?F (U ), R ?F (U×V ), 则如下定义的模糊映射 T R : F (U)→F (V)A?T R(A)=A?R 是一个模糊线性变换,这是因为模糊关系的合成运算满足保并性, 我们称 T R 为由 R导出的,从U到V的模糊线性变换, 其中 T R(A)的隶属函数为 T R(A )(v) = ∨ u?U(A(u ) ∧R(u,v )), ?v?V 3目录目录例如: U ={u 1, u 2, u 3, u 4 }, V = ={ v 1, v 2, v 3 }, 则对 U上的模糊集合 A =(, , , ) 以及 U到V的关系 1 0 ( ) (, , , ) 1 0 (, , ) R R T A ? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ???有4 由上述例题可见, 给定 R?F(U×V ),可以唯一确定一个从 U到V的模糊线性变换 T R。反之,给定一个从 U到V的模糊线性变换 T,也存在唯一的 R?F(U×V ), 使得 T R =T。因此模糊关系与模糊线性变换是一一对应的。有时可以把 R称为模糊线性变换。模糊线性变换 T R有直观的几何解释,如图 ,设 R?P(U×V ),将T R限制在 P(U)上,则 T R为从 P(U)到P(V)的普通集合的线性变换,可以证明?A?P(U)有 T R(A) = ((A×V)∩R) V 56 事实上, ?v?V,有((A×V)∩ R) V(v ) = ∨ u?U( A ×V )∩R )(u,v ), = ∨ u?U(A(u)∧V(v ) ∧R(u,v )), = ∨ u?U(A(u)∧R(u,v )), ( 因为V(v ) =1) = T R(A)(v)这说明: T R(A)就是普通关系(A×V)∩R在V中的投影. 7 定理 设R?F (U×V ), T R为R导出的模糊线性变换,则?A?F ( U),有(1) T R(A )= ((A×V)∩R) V (2) T R(A )= ∪??[0,1] ?T R?(A ?) 89 证明(1) 的证明与式() 方式完全一致. (2) 根据分解定理 1和2,有 T R(A )= ∪??[0,1] ?T R(A ) ?T R(A )= ∪??[0,1] ?T R(A) s?只要能证明???[0,1] ,有 T R(A) s??T R?(A ?)?T R(A) ?则由分解定理 3,,由 T R(A )= ((A×V)∩R) V ,?v?T R?(A ?),存在 u?U,使(u,v)?(A ?×V)∩R ?从而有, ( , ) ( ) ( , ) ( )( ) ( ( ) ( , )) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( , )) ' , ( ') ( ', ) ( ', )