52 矩阵的相似对角化-课件【PPT演示稿】.ppt

矩阵的相似对角化 . 相似矩阵的基本概念 . 矩阵的相似对角化 . 可相似对角化矩阵的应用 相似矩阵的基本概念使如果存在可逆矩阵阶矩阵都是与设,,P nBAB AP P??1.~BA BA ,记为相似与则称;~)1(AA 反身性; 对称性 ABBA~~)2(?.~~~)3(CACBBA?且传递性定义矩阵相似是一种等价关系. 定理相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的迹、相同的行列式、 P AP B ?? AP PIBI 1????????? PAIP???? 1PAIP???? ????? AP PPIP 1 1?????证明, 设BA~ 使得可逆阵则,P?A与B特征多项式相同,因而特征值相同. , B AP P??1?B AP P???1BPAP?????相似矩阵的性质: 例., 00 020 001,113 22 002yxBA y BxA 相似,求与若设????????????????????????因此, x =0 ,y =-2. 解相似, 与BA??)()(B trA tr?11???yx即通过计算,可知-2 是 A 的一个特征值(1) 相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆. 当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似. 关于相似矩阵的一些其它性质: (2) 若A与B相似,则 kA 与kB 相似. )( 是任意常数其中 k ,0)3( 1?? AP P0??A, 1I AP P??IA??, 1 kI AP P?? kI A??与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵 I本身. 与数量矩阵 kI相似的 n阶方阵只有数量阵 kI本身., 2 1??????????????????? kn k kk?为对角阵若??? AP P 1, 1????PPA kk怎样方便地计算方阵 A的幂次???????????????? n????? 2 1 容易得到问题: (1) 什么样的矩阵可以与对角矩阵相似? (2) 怎样求出对角矩阵? (3) 怎样求可逆阵 P ? ???????????????? n A???? 2 1~ 设矩阵. 21 的全部特征值是, , 则A n????定理 矩阵的相似对角化 n I?????????????? 2 1?????? n??????????? 21 . 21n???, , , 的全部特征值是: ???, 的特征值相同与?A?. 21n A???, , , 的全部特征值是: ??证定理 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 有n个线性无关的特征向量. : 个线性无关的特征向量有设nA,,,, 21nPPP??? nip AP iii,,2,1??????, 21nPPPP??令??????????????? n????? 2 1 ,??P AP 则证充分性??? AP P 1 ??????????????????n AP P???? 2 1 1设??P AP 则?? nPPPP? 21?设???? nn nPPP AP AP AP????? 2211 21?则?? niP AP iii,,2,1????. ,,, 21 个线性无关的特征向量的是nAPPP n??必要性