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第3章 离散傅里叶变换(DFT)
数字信号处理离散傅里叶变换
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本章作为全书的基础，主要学习: (1) DFT的定义； (2) DFT的物理意义； (3) DFT的基本性质以及频域采样； (4)DFT的应用举例等内容。
数字信号处理离散傅里叶变换
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离散傅里叶变换定义
计算机只能处理有限长离散序列，因而无法直接利用ZT与FT进行数值计算。
针对有限长序列, 还有一种更有用的数学变换, 即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。
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DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，即频域离散化。
DFT有多种快速算法(Fast Fourier Transform), 因此不仅在理论上有重要意义, 在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用。从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。
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DFT 的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
X(k)的离散傅里叶逆变换为：
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对式中，　　　　　，N称为DFT变换区间长度，N≥M。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。
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【例】 x(n)=R4(n), 求x(n)的8点和16点DFT。
【解】（1）设变换区间N=8 时，则：
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（2）设变换区间N=16 时，则：
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R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:
X(n)的幅频特性曲线(FT曲线)
X(n)的8点DFT曲线
X(n)的16点DFT曲线
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结论:
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。
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