专题讲座初中数学数与代数.doc

专题讲座初中数学数与代数綦春霞(北京师范大学,教授) 史炳星(北京教育学院,副教授,教研员) 王瑞霖(北京师范大学教育学部,博士) 数与代数在这一部分内容主要涉及到 6 个话题,前三个是和内容有关系的,第一个话题是数与式, 第二个话题方程与不等式, 第三个话题是函数; 另外三个话题, 是基于知识之上侧重培养学生的一些方面的能力,一是运算能力,一是符号意识,再一个是模型思想。话题一数与式一、重点关于数与式的主要内容, 包括有理数、实数、代数式和二次根式, 代数式主要是整式和分式。这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义,建立数感,理解代数式的表述功能, 建立符号感,同时理解运算的意义,强调运算的必要性。二、内容的变化(一)降低了对于实数运算的要求。比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根, 用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根, 会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根”。(二)取消了对“有效数字”的要求,但重视学生的估算能力,要求学生理解近似数。例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”,“了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值”。(三) 与实验稿比较, 加强了对二次根式的要求, 比如对二次根式的化简, 分母有理化, 但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。(四)在具体情境中理解字母表示数的意义。例如要求“借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义。”(五)注重代数式的实际应用和实际意义。例如要求“能分析简单问题中的数量关系, 并用代数式表示。”以及“会求代数式的值; 能根据特定的问题查阅资料, 找到所需要的公式, 并会代入具体的值进行计算。”(六)对于代数式的意义,除了关注数学意义外,还关注现实的意义。(七)强调几何直观的作用。(八)知道| a |的含义(这里 a 表示有理数)。三、价值及作用数与式这部分内容, 在代数当中甚至在整个数学领域当中, 都是非常重要的。具体的来讲,有下面的几点: 第一点, 通过数与式的学习, 使学生体会到数学与现实生活的密切联系, 感受到数学的价值,能够培养学生对数学学习的兴趣,增强学生的应用意识。关于数学和生活的联系, 以及培养学生具有应用意识, 可以举如下的例子: 在我们学的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子, 能够从这些现象当中得到数轴、抽象出数轴的这样一个概念。接下来我们就可以利用数轴联系数学内部的一些知识, 即应用于数学内部。同时数轴作为一种工具, 它又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题,比如时区问题,化学中的一些常见的问题等等。这就是我们说的核心的概念: 几何直观。从温度计抽象出数轴来, 同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。学习有理数之后数轴还不能被充满, 但是学了实数之后这个数轴就被充满了。这样直观的一个工具,对于学生来理解实数是非常有帮助的。第二点,我们来谈谈关于数的概念和运算、代数式的建立、以及推导与探究性的活动, 有利于学生形成数感、符号感的问题。学习数的概念和数的运算,除了学生会运算之外,数感和符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的,而且通过学习数的概念和数的运算,不仅能够提高学生的运算能力, 同时也能够发展学生的推理能力, 对于提高学生的思维水平都是非常重要的载体。如: 对于一般化的处理方法, 因为字母表示数, 实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理, 这样就把学生的思维水平提高到抽象化的水平, 同时也会逐渐通过式的建立以及对式的进一步学习,逐步形成模型的思想。我们在学习幂的运算这一部分内容时,教师们通常是让学生在原有的一些知识基础之上,猜想观察猜想出幂的运算规律,从数的计算开始, 10 3× 10 2= 10 5 =10 3+2,a 4×a 3 =a 7 =a 4+3,a m·a n=a m+n 逐步地提升到用字母来表示。再将这个公式应用于数学问题, 这样的话, 学生经历了从特殊到一般, 再从一般到特殊这样一个过程, 体会了这样一个数学思想。但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义。我们观察幂的运算公式, 会发现幂之间所做的运算, 如果幂之间做的是乘除运算, 到了指数上它就会变为加减运算, 运算等级降了一级, 幂做乘方的运算, 在指数上就变为了乘法的运算, 其实也是降了一级。而学生无论通过观察, 还是在教师的适当引导下, 他都能够认识这样的规律, 产生这样的意识, 这正是学生积累了一定的符号感。符号感的获得一方面基于对算理的理解, 也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用, 就可以逐步获得这样一种意识。这个例子挺好, 里面就体现了符号表示的一般化作用, 因为在前面通过具体的数字产生了一种猜想,有可能