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证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系， 就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的
切线 .在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线 l 过⊙ O 上某一点 A，证明 l 是⊙ O 的切线，只需连 OA ，证明 OA ⊥ l
就行了，简称 “连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .
例 1 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D ，交 AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F.
求证： EF 与⊙ O 相切 .
证明： 连结 OE， AD.
∵AB 是⊙ O 的直径，
∴AD ⊥ BC.
又∵ AB=BC ，
∴∠ 3=∠ 4.
⌒ ⌒
∴BD=DE ，∠ 1=∠ 2.
又∵ OB=OE ， OF=OF ，
∴△ BOF ≌△ EOF（ SAS） .
∴∠ OBF= ∠ OEF.
∵BF 与⊙ O 相切，
∴OB ⊥ BF.
∴∠ OEF=90 0.
EF 与⊙ O 相切 .
说明： 此题是通过证明三角形全等证明垂直的
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例 2 如图， AD 是∠ BAC 的平分线， P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD.
求证： PA 与⊙ O 相切 .
证明一： 作直径 AE ，连结 EC.
AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ DAB= ∠ DAC.
PA=PD，
∴∠ 2=∠1+ ∠ DAC.
∵∠ 2=∠B+ ∠ DAB ，
∴∠ 1=∠B.
又∵∠ B= ∠ E，
∴∠ 1=∠E
∵ AE 是⊙ O 的直径，
AC ⊥ EC，∠ E+ ∠ EAC=90 0.
∴∠ 1+∠EAC=90 0.
OA ⊥ PA.
PA 与⊙ O 相切 .
证明二： 延长 AD 交⊙ O 于 E，连结 OA ， OE.
AD 是∠ BAC 的平分线，
⌒
BE=CE ，
OE⊥BC.
∴∠ E+∠ BDE=90 0.
OA=OE ， ∴∠ E=∠ 1.
PA=PD，
∴∠ PAD= ∠ PDA.
又∵∠ PDA= ∠ BDE,
2
∴∠ 1+∠PAD=90 0
OA ⊥ PA.
∴ PA 与⊙ O 相切
说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 .
3 如图， AB=AC ， AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D， DM ⊥ AC 于 M
求证： DM 与⊙ O 相切 .
证明一： 连结 OD.
AB=AC ， ∴∠ B= ∠ C.
OB=OD ， ∴∠ 1=∠ B.
∴∠ 1= ∠ C.
∴OD ∥ AC.
∵DM ⊥AC ， D
DM ⊥ OD.
DM 与⊙ O 相切
证明二： 连结 OD， AD.
AB 是⊙ O 的直径，