树型动态规划.ppt

树型动态规划
树型动态规划
加分二叉树
给定一个中序遍历为1,2,3,…,n的二叉树
每个结点有一个权值
定义二叉树的加分规则为：
左子树的加分× 右子树的加分＋根的分数
若某个树缺少左子树或右子树，规定缺少的子树加分为1。
构造符合条件的二叉树
该树加分最大
输出其前序遍历序列
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样例
中序遍历为1,2,3,4,5的二叉树有很多，下图是其中的三棵，其中第三棵加分最大，为145.
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分析
性质：中序遍历是按“左-根-右”方式进行遍历二叉树，因此二叉树左孩子遍历序列一定在根结点的左边，右孩子遍历序列一定在根结点的右边！
因此，假设二叉树的根结点为k，那么中序遍历为1,2,…,n的遍历序列，左孩子序列为1,2,…,k-1，右孩子序列为k+1,k+2,…,n，如下图
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动态规划
设f(i,j)中序遍历为i,i+1,…,j的二叉树的最大加分，则有：
f(i,j)=max{f[i,k-1]*f[k+1,j] +d[k]}
显然 f(i,i)=d[i]
答案为f(1,n)
1<=i<=k=<=j<=n
时间复杂度 O(n3)
要构造这个树，只需记录每次的决策值，令b(i,j)=k，表示中序遍历为i,i+1,…,j的二叉树的取最优决策时的根结点为k
最后前序遍历这个树即可。
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选课
给定M门课程，每门课程有一个学分
要从M门课程中选择N门课程，使得学分总和最大
其中选择课程必须满足以下条件：
每门课程最多只有一门直接先修课
要选择某门课程，必须先选修它的先修课
M,N<=500
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分析
每门课程最多只有1门直接先修课，如果我们把课程看成结点，也就是说每个结点最多只一个前驱结点。
如果把前驱结点看成父结点，换句话说，每个结点只有一个父结点。显然具有这种结构的模型是树结构，要么是一棵树，要么是一个森林。
这样，问题就转化为在一个M个结点的森林中选取N个结点，使得所选结点的权值之和最大。同时满足每次选取时，若选儿子结点，必选根结点的条件。
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样例分析
如图1，为两棵树，我们可以虚拟一个结点，将这些树连接起来，那么森林就转会为了1棵树，选取结点时，从每个儿子出发进行选取。显然选M=4时，选3，2，7，6几门课程最优。
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动态规划
如果我们单纯从树的角度考虑动态规划，设以i为根结点的树选j门课程所得到的最大学分为f(i,j),
设虚拟的树根编号为0，学分设为0，那么，ans=f(0,n+1)
如果树根选择1门功课，剩下j-1门功课变成了给他所有儿子如何分配的资源的问题，这显然是背包问题。
设前k个儿子选修了x门课程的最优值为g(k,x)，则有
其中:
0<=x<=j-1，ans=g(son(0),n+1)
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构造树结构
readln(n,m);
inc(m);
for i:=1 to n do {父亲表示法构造树}
begin
readln(pr[i],v[i]); {pr是前驱结点，v价值}
inc(t[pr[i]]); {t记录结点的儿子个数}
ne[pr[i],t[pr[i]]]:=i; {ne记录树}
end;
for i:=0 to n do {ts记录每个结点后代的个数}
ts[i]:=ts[i-1]+t[i]+1;
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