第二十二章 曲面积分.doc

第二十二章曲面积分
教学目的:、二型曲面积分的有关概念,并掌握其计算方法,同时明确它们的联系;;,掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。
教学重点难点:本章的重点是曲面积分的概念、计算;难点是第二型曲面积分。
教学时数:18学时
§ 1 第一型曲面积分
一. 第一型面积分的定义:
1.          几何体的质量: 已知密度函数, 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算
2.          曲面的质量:
3.          第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分.
4.          第一型面积分的性质:
二. 第一型面积分的计算:
1.          第一型曲面积分的计算:
设有光滑曲面. 为上的连续函数,则.
例4 计算积分, 其中是球面被平面所截的顶部. P281
§2 第二型曲面积分
一. 曲面的侧:
1.          单侧曲面与双侧曲面:
2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧,左、右侧,前、后侧. 设法向量为,
则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时,应有,亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.
二. 第二型曲面积分:
1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P284 
2. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面上的积分及记法.
3. 第二型曲面积分的性质: 线性, 关于积分曲面块的可加性.
4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:
设为曲面的指定法向, 则

. 
三. 第二型曲面积分的计算:
设是定义在光滑曲面
D
上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即), 则有
.
证 P 
类似地, 对光滑曲面 D , 在其前侧上的积分
.
对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分
.
计算积分时, 通常分开来计算三个积分
, , .
为此, 分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面的定向决定.  
例1 计算积分,其中是球面在部分取外侧. P287
例2 计算积分, 为球面取外侧.
解对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有
: ;
: .
因此, = + =


.
对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有
: ;
: .
因此, + =

.
对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有
: ;
: .
因此, = + =

.
综上, = .
§ 3 Gauss公式和Stokes 公式
一. Gauss公式:
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成. 若函数在V
上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则
,
其中取外侧. 
称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.
证只证.
设V是型区域( 即型体) , 其边界曲面由曲面
下侧, D ,
上侧, D . .
以及垂直于平面的柱面(外侧)组成. 注意到= , 有
=


=
.
可类证, .
以上三式相加, 即得Gauss公式.
例1 计算积分, 为球面取外侧.
解.

由Gauss公式.
例2 计算积分,其中是边长为的正方体V的表面取外侧. V : . P291
解应用Gauss公式, 有

.
例1            计算积分, 为锥面在平面下方的部分,取外法线方向.
解设为圆取上侧, 则构成由其所围锥体V的表面外侧, 由Gauss公式, 有
= 锥体V的体积;
而
因而, .
例1            设V是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点. 又设函数、和在V上有连续的偏导数. 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面, 是的外法线. 试证明: 对V内任意曲面恒有

的充要条件是在V内处处成立.
证.
由Gauss公式直接得到.
反设不然, 即存在点 V, 使,
不妨设其. 由在点连续, 存在以点为中心且在V内的小球, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧, 就有
,
与矛盾.
二. Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为