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第四节
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
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对面积的曲面积分
第十章
0、引言:
前面我们曾用第一型(对弧长)的曲线积分来表示质量非均匀分布的曲线形物件的质量,用类似的方法可以表示质量非均匀分布的曲面壳的质量。
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
类似求平面薄板质量的思想, 采用
可得
求质
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法,
量 M.
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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类似的象求温度非均匀分布的曲面
上的热量、电荷非均匀分布的曲面壳上的电量等问题,也会遇到上述类型的和式极限,因此,有必要研究这一类型的和式极限,为此,我们引入对面积的曲面积分的概念。
定义:
设为光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
的曲面积分
其中 f (x, y, z) 叫做被积
据此定义, 曲面形构件的质量为
曲面面积为
f (x, y, z) 是定义在上的一
个有界函数,
记作
或第一类曲面积分.
若对做任意分割和局部区域任意取点,
则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面上对面积
函数, 叫做积分曲面.
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则对面积的曲面积分存在.
•对积分域的可加性.
则有
•线性性质.
在光滑曲面上连续,
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
•积分的存在性.
若是分片光滑的,
例如分成两
片光滑曲面
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定理: 设有光滑曲面
f (x, y, z) 在上连续,
存在, 且有
二、对面积的曲面积分的计算法
则曲面积分
证明: 由定义知
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而
(光滑)
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说明:
可有类似的公式.
1) 如果曲面方程为
2) 若曲面为参数方程,
只要求出在参数意义下dS
的表达式,
也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
二重积分. (见本节后面的例4, 例5)
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
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