第八章　曲线积分，曲面积分和场论.pdf

第八章曲线积分和曲面积分


我们前面已学过定积分和重积分,当一个函数定义在空间的曲线或曲面时,则要求我们
计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同,我们还须区别曲线或曲面的方向性,因此
我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分

1. 第一型曲线积分

我们研究如下的一个理想问题,给定空间的一条曲线物体 L,L 上每点有线密度,现在
我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制,设 L 是空间的可求长曲线,端点为 A 和 B,密度函数
fxyz(,,)在 L 上定义。为了求质量, 象定积分一样, 我们对 L 作一分割,
AA=01,,ALL,Anj==BA,(,j1,2,,nL,)在上,这样我们就将 L 分成 n 小段,设每段的
长度为 Vs j 。在每段弧长上任取一点(ξης),作和式
n
å fs(ξjj,ης,)jjV
j=1
以此作为 L 质量的近似值。最后我们令λ=®max{}0Vs j ,即可得到 L 质量的精确值 M,
1££jn
即
n
M= lim(fsξjj,ης,)jjV
λ®0 å
j=1
由此我们可得到以下定义
定义设 L 是空间可求长曲线, fxyz(,,)在 L 上连续,L 的两个端点为 A,B,依次用分
点 AA==01,,,AL ABn 将 L 分成 n 小段。每小段弧及弧长均记为Vs j ,在 Vs j 上任取一点
Pj= (,,)ξηςjjj,作和式
n
å fs(ξjj,ης,)jjV
j=1
如果当λ=®max{}0Vs j 时,上述和式的极限存在,且不依赖于 L 的分法及 Pj 的选取,
1££jn
则称这一极限值为 fxyz(,,)。在 L 上的第一型曲线积分,记作 fxyz(,,)ds 。
òL
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质,如关于被积函数的线性及关于曲线的可
加性,它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。希望读者能注意到这一
点。
关于第一型曲线积分,我们有以下定理。称一条曲线 L: x===x(t),yy(t),zzt(),
()atb££ 是光滑的,如果 x()t,y(t),z(t)ÎC(1)[,]ab ,且对 tÎ[,]ab,
x¢¢¢222(t)++¹y(t)zt()0

ìx= xt()
ï
定理 1 设 L: íy= yt(), ()atb££ ,光滑曲线,函数 fxyz(,,)在 L 上连续,则
ï
îz= zt()
b
fxyz(,,)ds=f((xt),y()t,(zt))x¢¢¢222(t)++y(t)z()tdt
òòLa

证:由弧长公式,我们有
t
s(t)=x¢¢¢222(t)++y(t)z()tdt
òa
有 S¢(t)=x¢¢¢222(t)++>y(t)zt()0,从而 st()是[,]ab 上严格递增的连续函数,且记
l= sb(),则 st()将[,]ab一一地映成[0,]l , s= st()存在反函数 t= ts()。令 x= xts(()) ,
y= yts(()) ,从而得到以弧长为参数的曲线 L 的方程,因此对 L 的任一分割得到的和式
nn
ååf(ξjj,ης,j)VVsj= f((xt(sjj),yt((s),zt((ssjj)))
jj==11
由于右边是连续函数 f(((xts)),yt((s)),zts(())) 在[0,]l 上的 Riemann 和, 从而当
λ=®max{}0Vs j 时,右边趋向它在[0,]l 上的定积分,从而有
1££jn
l
fxyz(,,)dsfxt(((s)),yt((s)),zt((s)))ds
òòL 0
对上式右端作积分变量替换 s= st(),即得
b
fxyz(,,)ds=f((xt),y()t,(zt))x¢¢¢222(t)++y(t)z()tdt
òòLa

例1 计算第一性曲线积分 I=+x22yds ,L: xy22+=ax 。
òL
aa a
解: 曲线的参数方程: xt=+cos , yt= sin , (0££t 2)π。因
22 2
aaa
dst=(sin)22+=(cos)tdtdt ,所以
222
2π aat(1+ cos)
I=x22+=ydsdt
òòL 0 22

2
at22ππ
=|cos|dt==2a22cos2tdta
22òò00
例2 设 L 为球面 xyza2