对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念和性质
前面已经介绍了两类曲线积分,对第一类曲线积分
其物理背景是曲线型构件的质量,在此质量问题中若把曲线改为曲面,线密度改为面密度,小段曲线的弧长改为小块曲面的面积,相应地得和式
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念
实例
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
其物理背景是面密度为 f ( x , y , z ) 的曲面块的质量
由上述定义可知其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似
ⅰ)线性性
ⅱ)可加性
ⅲ)存在性
二、对面积的曲线积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种:
则
则
则
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
简述为:一代、二换、三投影
代:将曲面的方程代入被积函数
换:换面积元
投影:将曲面投影到坐标面得投影区域
注:
(1)这里积分曲面的方程必须是单值显函数,否则
可利用可加性,分块计算,结果相加
(2)把曲面投影到哪一个坐标面,取决于曲面方程
即方程的表达形式
(3)将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是
把被积函数化为二元函数
(4)切记任何时候都要换面积元
例1
解
例2 计算
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面
解
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