定积分应用
上一章,已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中,将利用这些知识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛,在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式,更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。
重点
微元法,面积,弧长,旋转体的体积,定积分在物理方面的应用,
微元法,参数方程确定的曲线所围的面积,定积分在物理方面的应用。
基本要求
①正确理解和掌握微元法的基本思想,并会灵活运用它。
②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。
③会求旋转体的体积
④会求平面曲线的弧长
⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。
难点
通过对不均匀量(如曲边梯形的面积,变速直线运动的路程)的分析,采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么,究竟哪些量可以通过定积分来求值呢?我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的。
定积分的微元法
求U的步骤
分
用分点
将
区间分成n个小区间
粗
把U在小区间上的局部量
用某个函数 f ( x) 在
的值与
之积代替
和
把局部量的近似值累加得到总量的近似值
即
设量U非均匀地分布[ a ,b ]上
由此可知,若某个非均匀量U在区间[a,b]上满足两个条件:
(1) 总量在区间上具有可加性,即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和,
(2)局部量可用
近似表示
它们之间只相差一个
的高阶无穷小
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