第六章 定积分在物理学中的应用.ppt

定积分在物理学中的应用
前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用,我们看到,在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积等问题时,关键在于写出所求量的微元
定积分在物理方面的应用的关键也是如此,希望大家注意如何写出所求量的微元——微功、微压力、微引力等
由物理学知道,如果一个物体在常力F作用下,使得物体沿力的方向作直线运动,物体有位移 s 时,力F对物体所作的功为:W=F*s
这个公式只有在力F是不变的情况下才适用,但在实际问题中,物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功。
例1
已知弹簧每伸长 m 要用 9,8 N 的力,求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功
一、变力沿直线作功
当我们拉长弹簧时,需要克服弹性力作功,由 Hoke 定律,弹性力F与伸长量 x 之间有函数关系: F=kx
k ——弹性系数
用微元法
由题设
=
k= 490
要求的是变力所作的功
F=490x
取 x 为积分变量
积分区间为[0 ,]
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处,由 F (x )的连续性,当 dx 很小时,弹性力F (x) 变化很小,可近似地看作是不变的(常力)
解
于是在小区间[x, x +dx ]上对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功
例2
发射火箭需要计算克服地球引力所作的功,设火箭的质量为 m ,问将火箭垂直地向上发射到离地面高H 时,需作多少功。并由此计算初速度至少为多少时,方可使火箭脱离地球的引力范围
解
取 ox 轴竖直向上
x
o
R
R+H
地球半径设为R 质量为M,由万有引力定律,
即 x =R 时
火箭所受的引力就是火箭的重力mg
火箭所受地球的引力
随火箭发射的高度 x 而变化
当火箭在地面上
代入上式
为了发射火箭,必须克服地球引力,
克服地球引力的外力F与 f 大小相等
下面用微元法来求变力所作的功。
取 x 为积分变量
所须作的功
为了使火箭脱离地球引力范围,也
就是说要把火箭发射到无穷远处
则动能为
因此要使火箭脱离地球引力范围,须有
代入上式得
——第二宇宙速度
这功是由火箭上的动能转化而来,若火箭离开地面时的初速度为
半径为R,高为H 的圆柱形贮水桶,盛满了水,问将水桶中的水全部吸出须作多少功?
解
这个问题虽然不是变力作功问题,但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的,所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的
在区间[ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体
该水柱重为
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
例3
将以上几例的解法一般化
可得
若一物体在变力 F ( x ) 的作用下,沿力的方向(ox 轴)作直线运动,当物体由 x = a 移到 x = b 时,变力 F ( x )
对物体所作的功为
由物理学知道,一水平放置在液体中的薄板,其面积为A,距液面的深度为 h ,则该薄板的一侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的乘积,而压强等于深度与比重的乘积,于是
但在实际问题中,往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力,由于薄板在不同深度处压强不同,因而不能直接应用上述公式进行计算,需要采用微元法,利用定积分来计算。
例4
设半径为R的圆形水闸门,水面与闸顶平齐,求闸门一侧所受的压力。
二、液体的侧压力