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谓词与量词
Predicates and Quantifiers
11/11/2017
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Deren Chen, ZheJiang Univ.
前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容,其基本组成单位是原子命题。一般地,原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组成。
例如,电子商务是计算机技术的一个应用系统,这里“电子商务”是主语,而“是……”是谓语。当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题:电子政务是计算机技术的一个应用系统。
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Deren Chen, ZheJiang Univ.
由此可知,主语是独立存在的个体,而谓语用来描述该个体的性质或个体间的关系,这里我们称其为谓词。用P表示谓词“是……”。则P(电子商务)或P(电子政务)分别等值于前述两个命题的表达。将个体用变量(称为个体变量)x推广,则P(x)表示:x是计算机技术的一个新的应用系统。这时该语句就不是一个命题,而是一个命题函数。
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Deren Chen, ZheJiang Univ.
定义一个谓词P连同相关的n(n≥0)个个体变量组成的表达式称为n元谓词(n-predicate),记P(x1, x2, …, xn),其中n是该表达式中不同个体变量的数目。n元谓词也称简单命题函数,将简单命题函数视为命题,。简单命题函数和复合命题函数,统称为命题函数(proposition function)。
DEFINITION 1.
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EXAMPLE 1
Let P(x) denote the statement "x > 3." What are the truth values of P(4) and P(2)?
P (4) = .T.
P (2) = .F.
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EXAMPLE 2
Let Q(x, y) denote the statement "x = y + 3." What are the truth values of the propositions Q(1, 2) and Q(3, 0)?
Q(1,2)= .F.
Q(3,0)= .T.
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EXAMPLE 3
R(x,y,z): x+y=z
What are the truth values of the propositions R(1, 2, 3) and R(0, 0, 1)?
R(1,2,3)=.T.
R(0,0,1)=.F.
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当n>1时,通常P给出了xi (i=1, 2, …, n)之间的关系。
例如,P(x, y, z)表示x位于y与z之间,是一个三元谓词。与x, y, z分别用构件层、表现层、总线层代入时得到命题:构件层位于表现层与总线层之间,其命值真值为T。再如将杭州、南京、北京代入,则得到:杭州位于南京和北京之间,真值为F。
与n=0时(即0元谓词),命题函数就对应一个命题。
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为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况,首先需要指定个体变量x可选择的范围,即个体域(universe of discourse, or domain)。每一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有特别指定的个体域,则缺省为一个全个体域(total universe of discourse)即任意个体均可以作为常量对x代入。
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Deren Chen, ZheJiang Univ.
在指定个体变量x的个体域后,该个体域中的每个个体a代入到P(x)中的所有x,就对应一个可以判定真假意义的命题P(a)。不同的个体代入后所对应的命题真值可能不同,也可能相同。
例如,P(x)表示为
x2–1=(x–1)(x+1) x指定的个体域为全体整数,
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