多元函数的极限与连续性.pdf

第第第十十十五五五章章章多多多元元元函函函数数数的的的极极极限限限与与与连连连续续续性性性
§1 平平平面面面点点点集集集
1. 设{Pn = (xn, yn)}是平面点列,P0 = (x0, y0)是平面上的点. 证
明 lim Pn = P0的充要条件是 lim xn = x0,且 lim yn = y0.
n→∞ n→∞ n→∞
2. 设平面点列{Pn}收敛,证明{Pn}有界.
3. 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指
出它们的聚点:
© ª
(1) E = (x, y) |y < x2 ;
© ª
(2) E = (x, y) |x2 + y2 6= 1 ;
(3) E = {(x, y) |xy 6= 0};
(4) E = {(x, y) |xy = 0};
(5) E = {(x, y) |0 ≤ y ≤ 2, 2y ≤ x ≤ 2y + 2};
© 1 ª
(6) E = (x, y) |y = sin x , x > 0 ;
© ª
(7) E = (x, y) |x2 + y2 = 1E = 0, 0 ≤ x ≤ 1 ;
(8) E = {(x, y) |x, y}.
是闭集,G是开集,证明F \G是闭集,G\F 是开集.
.
. 证明P0是E的聚点的充要条件是E中存在点
列{Pn},满足
Pn 6= P0 (n = 1, 2, · · ·) lim Pn = P0.
n→∞
1
.
.
,如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖,则
称E是紧集. 证明紧集是有界闭集.
,d (E)是E的直径,即
¡ ¢
d (E) = sup r P 0, P 00 .
P 0,P 00∈E
求证:存在P1, P2 ∈ E,使得r (P1, P2) = d (E).
,叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极
限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).
-魏尔斯特拉斯致密性定理.
§2 多多多元元元函函函数数数的的的极极极限限限与与与连连连续续续性性性
:
(1) lim f (x, y) = ∞;
x→x0
y→y0
(2) lim f (x, y) = A;
x→+∞
y→−∞
(3) lim f (x, y) = A;
x→a
y→+∞
(4) lim f (x, y) = ∞.
x→a
y→+∞
(包括非正常极限):
2 2
(1) lim x +y ;
x→0 |x|+|y|
y→0
sin(x3+y3)
(2) lim 2 2 ;
x→0 x +y
y→0
2
2 2
(3) lim √ x +y ;
x→0 1+x2+y2−1
y→0
1
(4) lim (x + y) sin 2 2 ;
x→0 x