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概率论与数理统计第10讲
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连续型随机变量的分布
一随机变量的分布函数是描述任何类型的随机变量的变化规律的最一般的形式,但由于它不够直观,往往不常用。
比如,对离散型随机变量,用概率函数来描述即简单又直观。
对于连续型随机变量也希望有一种比分布函数更直观的描述方式。
这就是今天要讲的“概率密度函数”
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例8 在区间[4,10]上任意抛掷一个质点, 用x
表示这个质点和原点的距离, 则x是一随机变量, 如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比, 求x的分布函数.
4
10
x
3
解 x可以取[4, 10]上的一切实数, 即
{410}是一个必然事件, P{410}=1,
若[c,d][4,10], 有P{cd}=(d-c), 为比例常数, 特别地, 取c=4, d=10,
P{410}=(10-4)=6=1, 因此=1/6.
4
F(x)的图形如下所示
0
F(x)
4
10
x
5
在这里,
分布函数F(x)是(-, +)上的一个非降有界的连续函数, 在整个数轴上没有一个跳跃点(可见, 对于这样的随机变量, 它取任何一个具体值的概率都是零). 这就是这种类型的随机变量被称作是连续型随机变量的原因.
描述连续型随机变量当然不能够用概率函数或者概率分布表. 但是使用分布函数F(x)同样也是不很方便. 因此, 用概率密度函数来描述连续型随机变量的分布.
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定义对于连续型随机变量x, 如果存在一定义在(-, +)上的非负函数(x), 对于任意实数x都有(x)0, 且满足, x落在任意区间内的概率为j(x)在此区间的积分, 即
则称j(x)为x的概率密度函数,.
7
用概率密度函数计算x落在任何区间内的概
率如下图所示意.
a
b
x
0
j(x)
P(axb)
8
因此, 概率密度函数的两个性质
一个是(x)0, 另一个则是
x
0
j(x)
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概率密度函数(x)与分布函数F(x)的关系为
x
0
j(x)
x
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