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概率论与数理统计第13讲
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第三章随机变量的数字特征
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.
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数学期望
数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or everage value)
它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格的平均值, 和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别.
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首先从一个例子说起
假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数, 则观察到的岁数x为一随机变量, 不难求出x的分布率如下表所示.
x
18
19
20
P
6/20
10/20
4/20
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现在要计算这个班的学生的平均年龄
有两种计算办法, 第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来, 再除以这个班的人数20人, 即6个18岁, 10个19岁, 4个20岁加起来得平均年龄为
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第二种办法是统计的办法, 实际情况更有用
就是通过对随机变量x进行一遍又一遍地重复试验, 假设这试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得的年龄数统统加起来除以n就是统计平均的年龄
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当然, 统计平均值x与准确计算的平均值Ex还
可能有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值x就趋近于数学期望Ex了.
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定义 假设离散型随机变量x有概率函数P{x=xk}=pk (k=1,2,...), 若级数
绝对收敛, 则称这级数为x的数学期望, 简称期望或均值, 记为Ex, 即
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关于数学期望的一个力学上的解释, 在坐标轴上的x1,x2,...,等点处放置质量为p1,p2,...的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心.
x1
x2
x3
p1
p2
p3
Ex
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例1 若x服从0-1分布, 其概率函数为P{x=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求Ex
解 Ex=0(1-p)+1p=p
x
o
1
p
p
1-p
10