初中二次函数常考知识点总结.docx

般式:
顶点坐标
顶点式:
（h、k）
当x=
2a
ymax
（5）常数项c
二次函数常考知识点总结
一、函数定义与表达式
. 一般式：y ax2 bx c （ a , b , c 为常 数，a 0）;
.顶点式：y a（x h）2 k （a, h, k 为常 数，a 0）;
.交点式：y a（x x）（x x2） （a 0, x1 , X2是抛物线与x轴两交点的横坐标）^
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般 式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交 点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时, 析式的这三种形式可以互化
二、函数图像的性质一一抛物线
（1）开口方向——二次项系数a
二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系 数，显然a 0 .
当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大， 开口越小，反之a的值越小，开口越大；
当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，
开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， a的 正负决定开口方向，
越大开口就越小，IaI越小开口就越大.
（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线
「一般式：x —
2a
对称轴 < 顶点式：x=h
.两根式：乂=红_"
2
（3）对称轴位置
b 4ac b2
5
2a 4a
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置。（“左同右异”）
a与b同号（即ab>0）<^^> 对称轴在y轴左侧
a与b异号（即ab< 0）< > 对称轴在y轴右侧
（4）增减性，最大或最小值
b
当a>0时，在对称轴左侧（当 x 工时），
2a
y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当x —
2a
时），y随着x的增大而增大；
b
当a<0时，在对称轴左侧（当 x ——时），
2a
y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当x —
2a
时），y随着x的增大而减少；
当a>0时，函数有最小值，并且当 x= —,
2a
4ac b , 一 .一 八
Ymin ；当a<0时，函数有最大值，并且
4a
2
4ac b
;
4a
常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y 轴交于（0, c）。
（6） a\b\c符号判别
二次函数 y=ax2+bx+c （aw。） 中 a、b、c 的
符号判别：
a的符号判别由开口方向确定：当开口
向上时，a>0;当开口向下时，av 0;
c的符号判别由与Y轴的交点来确定： 若交点在X轴的上方，则c>0;若交点在X轴的 下方,则Cv 0;
b的符号由对称轴来确定：对称轴在 Y 轴的左侧，则
a、b同号；若对称轴在 Y轴的右侧， 则a、b异号；
(7)抛物线与x轴交点个数
A = b2-4ac > 0时，抛物线与x轴有2个交点。
这两点间的距离 AB |x1 x2| ——4ac |a|
A = b 2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
顶点在x轴上。
△ = b2-4acv0时，抛物线与x轴没有交点。
(1′当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为 任何实数，都有y 0; 2’当a 0时，