第三部分广义积分与级数
§1 阶的概念
设时都是无穷小量。
ⅰ)若,则记。称之为等价无穷小。
ⅱ)若,则记。称是比的高阶无穷小。
ⅲ)若在内,则记。(注意,此时不一定有)。特别若在内,则称时是同阶无穷小。
注:严格说来,是一个集合,所以ⅱ)、ⅲ)中“=”的意义应理解为“”。
无穷小量具有下列一般性质:
设时为无穷小量,则。
设时都是无穷小量,则
设有界,则
若,则;反之不然。
若;反之不然。
若,则
例如: 时
,,,
,,,。又如:
,,但不能由此得出。
应用举例:
求极限。
解:时。
2、设。求证: 。
证:要证当时。
已知由此可得。于是有, ,令即证。
3、求极限。
解:运用的二阶皮亚诺型泰勒展开式即可。
4、求极限。
解、,于是有
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