第八章不定积分
§1不定积分概念与基本积分公式
教学内容:
1)不定积分的概念
2)不定积分与微分的关系
3)不定积分的基本积分公式
4)不定积分的线性性质
重点:不定积分与微分的关系,基本积分公式
要求:熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
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首先,我们简要说明积分运算是如何产生的?
一般来说,在数学中,一种运算的出现都伴随着它的逆运算。例如,有加就有减,有乘就有除,有乘方就有开方,等等。我们前面学过的微分运算也不例外,它也有逆运算—积分运算。我们已经知道,微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么我们很自然地会提出与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题,是因为它存在于许多实际的问题中,例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等。要解决这些实际问题,自然会想到微分运算的逆运算,这就是产生积分运算的原因。
为了更好地理解积分运算是导数(微分)运算的逆运算,我们在介绍积分运算时,把乘方运算(开方)和它作比较:
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我们熟悉乘方运算:
也熟悉导数运算:
于是提出新问题:
同样提出问题:
这不是乘方运算,而是它的逆运算—
开方运算。
这不是求导运算,而是它的逆运算—
积分运算。
一般来说,在下式里
同样,在下式里
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通过上面的比较,对积分运算与原函数有了初步认识,以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
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