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排列组合解题的技巧
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 , 其思考方法独特 , 求解思
路灵活 , 因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误 . 虽然近几年高考将侧
重点放在两个计数原理的考察上 , 但当对问题类型把握准确时 , 解答的准确性上
将会有很大的提升 , 解答速度也会大大提高 . 以下介绍几类典型排列组合问题的
解答技巧 :
、相邻问题捆绑法
例 1 6 名同学排成一排 , 其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 ( )
种。
A 、 720 B 、 360 C 、 240 D 、 120
解 : 因甲、乙两人要排在一起 , 故将甲乙两人捆在一起视作一人有
种排法 , 与其余四人进行全排列有 种排法 , 由乘法原理可知 , 共有
=240种不同排法 , 故选 (C) 。
点评 : 从上述解法可以看出 , 所谓“捆绑法” , 就是对元素进行整体处理的
形象化表述 , 体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件
的排列组合问题 , 只要把必须相邻的元素 “捆” 成一个整体 , 视作一个 “大” 元素 , 再考虑相邻元素内部的排列或组合 , 就能保证这些元素相邻而不散乱。
训练 : 3 名男教师 ,3 名女教师 ,6 名学生站成一排 , 要求男教师和女教
师必须站在一起 , 且教师不站在两端 , 则一共有多少种站法 ?
、相隔问题插空法
例 2 排一张 5个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单
1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 ?
2) 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 ?
解:(1) 先排歌唱节目有 种, 歌唱节目及两端有 6个空位 , 从这 6个空
位中选 4 个放入舞蹈节目 , 共有 种方法 , 所以任何两个舞蹈节目不相邻的排
法有 种。
3) 先排舞蹈节目有 种排法 , 在舞蹈节目和两端有 5 个空所以舞蹈节
目和歌唱节目间隔排列的方法 , 个歌唱节目放入 5 恰好供 , 位
有 种。
训练 : 若将例题当中的“ 4 个舞蹈节目”改
为“ 5 个舞蹈节目” , 求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 ?
点评 : 从解题过程可以看出 , “插” 的策略是解决排列与组合中若干特殊元
素互不相邻问题的常用手段。 在具体操作时 , 可以先将其它元素排好 , 再将所指定
的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置 , 从而保证它们不相邻。
3 、限定问题优限法
例 3 由数字 0,1,2,3,4,5 可组成多少个无重复数字的四位偶数 ?
解 : 因所求是偶数 , 所以个位必须是 0,2,4 中的任何一个 , 又首位不能为 0,
所以分个位为 0 时有 种,个位不为 0 时有 种。所以共有 种。
点评 : 所谓“优限法” , 即有限制条件的元素 ( 或位置 ) 在解题时优先考虑 ,
本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求 , 首位数字又不能为 0, 故优先考虑。
训练本例条件不变，问题改为“求能组成多少个无重复数字且比 20XX大
的四位偶数 ?” , 应如何求解 ?
、多元问题分类法
例 4 三边长均为整数 , 且最大边长为 11 的三角形有多少个 ?
解 : 设三角形的另外两个边分别为 x 和 y, 且不妨