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世界上最简单的公式
世界上最简单的公式by 达纳·麦肯齐1加1等于2，这或许是所有公式中最基本的一个。简单明了、亘古不变、毋庸置疑……但究竟是谁第一个写下了这一公式？它与其他的算术公式来自何方？我们如何知道它们是正确的？这些问题的答案远非一目了然。令人惊讶的一点是，古代数学中有关加法讨论的证据不多。人们发现的巴比伦陶土书板和埃及纸莎草文献中充斥着乘法与除法表，但却没有加法表，也没有“1＋1＝2”。看上去，加法是太明显的事实，用不着什么解释，而乘法和除法的情况则不同。原因之一或许是在许多文化中使用较为简单的计数系统。例如，在埃及，人们把一个像324这样的数字写成三个“一百”的符号、两个“十”的符号和四个“一”的符号。要把两个数字相加，人们就把它们所有的符号放置在一起，必要时把十个“一”换成一个“十”，以此类推。这跟我们现在不时地把零钱放到一起，然后用较大面额的纸币置换较小面额的钱币非常相似。谁也不需要记住1＋1＝2，因为 | 和 | 的和显然就是|| 。在古代中国，算术计算是在算盘的某种前身—“计算板”上进行的，其中用小棒为个、十、百等数位计数。同样，加法就是直接把恰当数目的小棒合并到一起，必要时进位到下一栏。没什么需要记忆的。然而乘法表（九九表）就是另一码事了。这是一个重要的工具，因为乘法8×9＝72 要比把9个8加起来快。另外一个观念上极其重要的差别是，没有任何一种古代文化，无论是巴比伦文化、埃及文化、中国文化或者任何其他文化有着与我们今天的现代概念完全一样的“等式”概念。人们用一般的词语写成的完整句子或者一些步骤来表达数学上的想法。因此，认为某种文化“了解”某个等式或者另一种文化不了解这一等式，这种说法不大靠得住。现代形式的等式是在一段一千多年的时期中逐步产生的。在公元250年前后，亚历山大港的丢番图开始使用一个字母的缩写（或以数学历史学家的语言说，即“缩略”标记法），来代替经常使用的词如“和”“积”等等。用x与y这样的字母来代表未知数量的想法很久以后才出现在欧洲，大约时间为16世纪后期。而等号这个今天实际上每个等式中都有的成分则直到1557年才第一次出场亮相。在罗伯特·雷科德所著《砺智石》一书中，作者雄辩地解释道：“而且，为了避免对‘等于’这个词的乏味重复，我建议，可以像我在工作中经常做的那样，用两条等长的平行孪生短线代替之，其形如====；因为这是比任何其他事物都更相等的东西。”（雷科德的原文用古体英语，其中“Gemowe”的意思是“孪生”。注意，雷科德的等号比我们今天用的长得多。）所以，尽管数学家几千年来都心照不宣地知道1＋1＝2，但直到16世纪的某一天为止，这一等式或许并没有写成我们今天的形式。而且直到19世纪之前，数学家们都一直没有探究过我们相信这一等式的原因。在整个19世纪中，数学家开始认识到，他们的前辈过分经常地依赖于一些隐藏的假定，而这些假定并不总是可以很容易地证明为真的（而且有时候是错误的）。打破古代数学坚冰的第一道裂缝出现于19世纪初叶，即非欧几何的发现。我们将在本书后面的一章中更详细地讨论这一问题。如果连伟大的欧几里得做出的假定都并非无懈可击，那么数学中还有哪些部分能够令人安之若素呢？19世纪晚期，更具哲学倾向的数学家如利奥波德·克罗内克、朱塞佩·皮亚诺、大卫·希尔伯特和伯特兰·罗素等，开始