2021年高中导数经典知识点及例题讲解.doc

§ 　变化率与导数
　变化率问题
自学引导
，理解平均变化率实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上平均变化率.
课前热身
函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率为＝________.
2．平均变化率另一种表达形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表达函数y＝f(x)从x0到x平均变化率.
名师解说
，Δy含义
Δx表达自变量x变化量，即Δx＝x2－x1；Δy表达函数值变化量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．
2．求平均变化率环节
求函数y＝f(x)在[x1，x2]内平均变化率．
(1)先计算函数增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)计算自变量增量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
对平均变化率结识
函数平均变化率可以体现出函数在某段区间上变化趋势，且区间长度越小，体现得越精准．如函数y＝sinx在区间[0，π]上平均变化率为0，而在[0，]上平均变化率为＝.
在平均变化率意义中，f(x2)－f(x1)值可正、可负，也可觉得零．但Δx＝x2－x1≠0.
题型一　求函数平均变化率
例1　一物体做直线运动，其路程与时间t关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体初速度；
(2)求t＝0到t＝1平均速度．
分析　t＝0时速度即为初速度，求平均速度先求路程变化量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间变化量Δt＝1－0＝．
解　(1)由于v＝＝＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2
Δt＝1－0＝1
∴＝＝＝2.
∴从t＝0到t＝1平均速度为2.
误区警示　本题(1)不要以为t＝0时，S＝.
变式训练1　已知函数f(x)＝－x2＋x图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)
A．3　　　　　　　 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
解析　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
∴＝＝－Δx＋3
答案　D
题型二　平均变化率快慢比较
例2　求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间平均变化率．并比较大小．
分析　用平均变化率定义求出两个区间上平均变化率，再比较大小．
解　设y＝sinx在0到之间变化率为k1，则
k1＝＝.
y＝sinx在到之间平均变化率为k2，
则k2＝＝＝.
∵k1－k2＝－＝>0，
∴k1>k2.
答：函数y＝sinx在0到之间平均变化率为，在到之间平均变化率为，且>.
变式训练2　试比较余弦函数y＝cosx在0到之间和到之间平均变化率大小．
解　设函数y＝cosx在0到之间平均变化率是k1，则k1＝＝－.
函数y＝cosx在到之间平均变化率是k2，
则k2＝＝－.
∵k1－k2＝－－(－)＝>0，
∴k1>k2.
∴函数y＝cosx在0到之间平均变化率不不大于在到之间平均变化率．
题型三　平均变化率应用
例3　已知一物体运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内平均速度．
分析　由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→
解　物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内位移增量
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内平均速度为
＝＝4＋Δt.
变式训练3　一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上平均速度不不不大于5，求Δt取值范畴．
解　质点在[2,2＋Δt]上平均速度为
＝
＝
＝＝4＋Δt.
又≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0，
∴Δt取值范畴为(0,1].

§ 　函数单调性与极值
　导数概念
，理解导数概念建立某些实际背景．
2．理解瞬时变化率含义，懂得瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f(x)在某一点x0处导数定义，并且会用导数定义求某些简朴函数在某一点x0处导数.
．
设物体运动方程为S＝S(t)，如果一种物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体位置增量是ΔS＝S(t0＋