集合概念和运算PPT学习教案.pptx

会计学
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集合概念和运算
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集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一
集合论体系
朴素(naive)集合论
公理(axiomatic)集合论
创始人康托(Cantor)
Georg Ferdinand Philip Cantor
1845 ~ 1918
德国数学家, 集合论创始人.
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集合结构
离散数学的大部分内容是研究离散结构，表现离散对象。
很多重要的离散结构是用集合来构造的，即对象的联合。例如组合，计数，关系，用来表现关系的序偶集合，图，结点和联结结点的边的集合，用来模拟计算机的有限状态机等。
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集合论的起源与发展
集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．
19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立了集合论．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人．
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康托尔的基本理论
康托尔集合论（朴素集合论）中的许多证明均能从三个公理得出．这三个公理是:
①外延公理: 如果两个集合中各个元素都是相同的， 则它们相等．
②抽象公理: 任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组成的集合．
③选择公理: 每个集合都有一个选择函数．
但是,抽象公理产生了悖论，选择性公理让人困惑.
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集合论的起源与发展(罗素悖论)
当人们认为集合论足够严谨时,在本世纪初,出现了许多悖论,如著名的罗素悖论(即理发师悖论), 有力冲击了或者说动摇了集合论的发展．
罗素悖论：由“不属于该集合的所有客体组成集合”会导出矛盾.
论证 把抽象公理符号化为：(y)(x)(x∈y(x))
其中, (x)是不以y为自由变元的公式.
把(x)取为“x不为y的成员”, 即(x) = (x∈y).
则罗素悖论符号化为 (y)(x)(x∈y(x∈y))
取x＝y，可得(y)(y)(y∈y(y∈y))
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集合论的起源与发展(公理化体系)
许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系 (“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”)，其中以20世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gödel)公理化体系最为流行.
到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，而后的研究结果推陈出新，大量涌现．
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集合论的起源与发展（续）
在同一时代，美国数学家 L . , 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．
在此基础上，逐步形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为数学中发展最为迅速的一个分支。
集合论观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论以及信息论、排队论等现代数学各个领域。
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集合(set)
集合：不能精确定义。
一些对象的整体就构成集合，
这些对象称为元素(element)或成员(me