球的内切与外接问题简单PPT课件.pptx

二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
一、复习
球体的体积与表面积
①
②
解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题
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正方体的内切球
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正方体的内切球的半径是棱长的一半
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正方体的外接球
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正方体的外接球半径是体对角线的一半
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
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1. 已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的外接球的体积。
变题：
2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。
A
C
B
P
O
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四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理
5、体积分割是求内切球半径的通用做法
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O1
A
B
E
O
O1
A
B
E
O
1
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为
内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
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O1
A
B
E
O
O1
A
B
E
O
1
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为
内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
作 OF ⊥ AE 于 F
F
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
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