高等代数 北大三 PPT课件.pptx

§ 数环和数域
研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
在实数范围内没有根，在复数范围内就
有根。等等。
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我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算
是指存在一个法则，它使A中任意两个元素
都有A中一个元素与之对应。
（即运算是否封闭）。
运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在
这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。
例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。
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根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。
一、数环
设S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对
，总有
则称S是一个数环。
整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集
C都是数环。
例如：
1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？
问题：
2、有没有最小的数环？
例1：设a是一个确定的整数。令
定义1：
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则S是一个数环。
特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。
当a=0时，
，即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。
问题：
3、一个数环是否一定包含0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
数环？
例2：证明
是一个数环。
问题：
5、除了定义之外，判断一个集合是数环
有没有其他简单的方法？
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定理：设S是一个非空数集，S是数环的充
要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
二、数域
定义2：
设F是一个含有不等零的数的数集，如果F
定义
：
设F是一个数环，如果
① F内含有一个非
零数； ② 对
且
，则
则称F是一个数域。
有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
例如：
则称F是一个数域。
中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，
且是三个最重要的数域。
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问题：
6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数
集是不是数域？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
例3：证明
是一个数域。
证明要点：
设
（否则当
矛盾；
当
，也矛盾）。于是
先证
有一个非零元
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
，
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8、一个数域必包含哪两个元素？
问题：
9、最小的数域是什么？
定理：任何数域都包含有理数域Q。
证明：设F是一个数域，则
于是
对
故
10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
问题：
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要检验几种运算？
设F是一个含有非零数的数集，则F
定理：
问题：
11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数P，
是一个数域。
在R与C之间不可能有别的数域。
设有数域F，使
，故
设x=a+bi，且
数不为零）仍属于F。
是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除
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（若b=0，则
，矛盾）。
可见F=C。
问题：
12、设
和
是数环，试问
是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。
若
和
是数域情况又如何？
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（
是数域，则
是数域的充要条件是
或
）。
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§ 一元多项式的定义和运算
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