二重积分计算法PPT课件.pptx

一、直角坐标系下二重积分的计算
①积分区域D为X—型区域
②积分区域D为Y—型区域
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
第1页/共30页
如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x), axb,则称区域D为X型区域.
①积分区域D为X—型区域
直线 与D的边界至多有两个交点
第2页/共30页
②积分区域D为Y—型区域
直线 与D的边界至多有两个交点
如果区域D可以表示为不等 , cyd,则称区域D为Y型区域.
第3页/共30页
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
第4页/共30页
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型
——转化成X—型或Y—型
第5页/共30页
提示
zf(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积.
提示
截面是以区间[j1(x0), j2(x0)]为底、以曲线zf(x0, y)为曲边的曲边梯形.
提示
根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.
设f(x, y)0, D={(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}.
二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为
曲顶柱体体积为
第6页/共30页
如果D是X型区域: D={(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}, 则
上式也可以记为
如果D是Y型区域: D={(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd}, 则
二重积分的计算
先对x后对y
的二次积分
先对y后对x
的二次积分
第7页/共30页
★注意：
⑴积分区域的形状：对于X—型（或Y—型）
直线 与D的边界至多有两个交点
直线 与D的边界至多有两个交点
⑵积分限的确定
对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积分的下（上）限。
第8页/共30页
【例1】计算 ，其中D是由直线
及 所围成的区域。
第9页/共30页
外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积分变量有关。
⑶两种特殊情形
则积分顺序可交换
第10页/共30页